《经济数学基础》线性代数
第3章 线性方程组
1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．
2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．
∙ 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：
AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ；
AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；
AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )．
∙ 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ；
AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．
例1 线性方程组⎩⎨
⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．
A ．2×3矩阵
B ．3×2矩阵
C ．3阶矩阵
D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ．
例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ．
A ．可能有解
B ．有无穷多解
C ．无解
D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．
正确的选项是D ．
例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．
A ．1
B ．4
C ．2
D ．12
解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛λ-λ→021021
此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12
． 正确的选项是D ．
例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )．
A ．秩(A ，
B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ r
C ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )
D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．
例5 求解线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1
2321220
23432143214321x x x x x x x x x x x x
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
--→
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----→
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=00100130103800100200131100123113
11013
11001
2
31123211212101231A 因为 ，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，
所以，方程组有解．
一般解为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0
31833424
1x x x x x (x 4是自由未知量)
例6 设线性方程组
21
2132123123123x x x x x x x x x c
-+
=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪
试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．
解 因为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-→000
0515
3
10535
1
01A 所以，原方程组的一般解为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=3
23
153
51
51
53x x x x （x 3是自由未知量）。