第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用
（主讲：范进军）
例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理：
设D 是空间 n
R R ´ 内的一个区域，函数 :;(,)(,) n
F D R t x F t x ®® 是连续可微的， 而且满足条件
00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0,
x F t x ¹ 其中初值 00 (,) t x D Î 。

则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数
() x x t = 。

证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x ¹ （其中 00 (,) t x D Î ）知，存在充分小的矩形区域
{ } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =δ-£-£> ,
使得当(,) t x Q Î 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数
1 (,){(,)}(,)
x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。

根据 Peano 定理知，初值问题
00
(,), () dx
f t x
dt x t x ì = ï í ï = î 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =Î-+> 。

从而
1 ()
{(,())}(,()) x t d t F t t F t t dt
j j j - =- ， 0 || t t h -£ 。

它等价于
()
(,())(,())
0 t x d t F t t F t t dt
j j j += ， 0 || t t h -£ , 即
(,())
0 dF t t dt
j = ， 0 || t t h -£ 。

因此，
(,()) F t t C j = （常数）， 0 || t t h -£ 。

再由初始条件得 00 (,)0 C F t x == 。

故 () x t j = 满足恒等式 (,())0 F t t j = ， 0 || t t h -£ 。

这就证明了 (,)0 F t x = 至少存在一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数 () x t j
= 。

下面再证隐函数的唯一性。

设 1 () x t j = 和 2 () x t j = 都是方程 (,)0 F t x = 满足初始条 件 00 () x t x = 的隐函数。

则我们有
12 (,())(,())0 F t t F t t j j -= ， 0 || t t a -£
， 其中 0 a > 为适当下的常数。

另外对向量函数 (,) F t x 的第i 个分量 (,) i F t x 应用 Lagrange 中值公式，得
1 1 (,()()())()0 n
i
i j j j
F t t t u t u t x j q = ¶ += ¶ å ， 1,2,, i n = L , 其中 21 ()()() u t t t j j =- ， () j u t 是 () u t 的第 j 个分量，而 () i t q 满足不等式0()1 i t q << 。

注意，当a 充分小时， 210 ()() t t x j j »» ，从而上述线性方程组的系数矩阵近似于
00 (,) x F t x ，所以它是非退化的。

因此，上线性方程组蕴含
()0 u t = ，亦即 21 ()() t t j j = 。

这就证明了唯一性。

证毕。