函数零点存在性定理
【说明】
(1)函数 y＝f（x）在区间 [a，b]上有定义； (2)函数的图象是连续不断的一条曲线； (3)函数y＝f（x） 在区间[a，b] 两端点的函数值必 须满足f(a) ·f(b) ＜0 ； (4)函数 y＝f（x）在区间 (a，b)内有零点，但不唯 一； (5)用判定方法验证函数f（x） ＝x2 ，说明该方法 仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方 法.
个零点.
函数零点存在性定理
【变式训练】 △ ＝(m ＋1)2 －16 ＞0
f(0) ＝4≥0 f(3) ＝9－3(m＋1) ＋4≥0
函数零点存在性定理
【二次函数零点的判定】 二次函数y ＝ax2 ＋bx＋c 的零点个数，方
程ax2 ＋bx＋c＝0 的实根个数见下表。
判别式 △＞0 △＝0 △＜0
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根
无零点
函数零点存在性定理
【二次函数零点的性质】
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(变 号零点)，函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断 的，上述性质同样成立.
函数零点存在性定理
【二次函数的零点的应用】
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函 数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号，观察函数的一些性质.
注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.
函数零点存在性定理
【典ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例题】
函数零点存在性定理
【变式训练】
若二次函数y ＝ － x2 ＋mx －1的图象与两端点为 A(0，3)
，B(3，0) 的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值 范围.
解：线段AB的方程是 x＋y＝3(0≤x≤3)
由题意，得方程组 x＋y＝3
在0≤x≤3 上有两组实数解
y＝－ x2 ＋mx－1
解得：x2－(m＋1)x＋4＝0 在0≤x≤3 上有两个实根 令f（x）＝ x2－(m＋1)x＋4 ，则二次函数 在0≤x≤3 上有两
知识点——
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？
如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b) ＜0 ，那 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
二次函数y ＝ax2 ＋bx＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________. 解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向 上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值 集合是(－ ∞， －2) ∪(3， ＋ ∞) 评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键.