根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续
0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。

证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。

先将[a,b]二等分为],2[],2,
[b b a b a a ++，如果0)2
(=+b a f 。

则定理获证。

如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2
(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。

又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。

如果中点的函数值为零，则定理获证。

如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(2222
22<-=-a f b f a b a b 且。

采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。

或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①
[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②n
n n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。

由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞
→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。

如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。

根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，
],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。

根据区间的性质③，0)()(<n n a f b f ，矛盾。

综上所述，只有0)(=ξf ，且],[b a ∈ξ。

定理获证。

注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而n n b a ,实际上是函数零点的近似值。