《几何证明选讲》习题一、选择题1. 若三角形三边上的高为a b c 、、，这三边长分别为6、4、3，则::a b c =（ ） A. 1:2:3 B. 6:4:3 C. 2:3:4 D. 3:4:62. 在ABC V 中，//DE BC ，DE 将ABC V分成面积相等的两部分，那么:DE BC =（ ）A. 1:2B. 1:3C. 1:13. 圆内接三角形ABC 角平分线CE 延长后交外接圆于F ，若2,FB =1EF =，则CE =（ ）A. 3B. 2C. 4D. 1 4. 在ABC V 中，90BAC ∠=o，D 是BC 边的中点，AE AD ⊥，AE 交CB 的延长线于E ，则下面结论中正确的是A. AED V ∽ACB VB. AEB V ∽ACD VC. BAE V∽ACE V D. AEC V ∽DAC V5. 在Rt ABC V中，C ∠为直角，CD AB ⊥垂足为D ，则下列说法中不正确的是（ ）A. 2CD AD DB =gB. 2AC AD AB =gC. AC BC AD BD =g gD. BC 是ACD V外接圆的切线 6. 已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设,BP x EF y ==，那么下列结论中正确的是（ ）A. y 是x 的增函数B. y 是x 的减函数C. y 随x 先增大后减小D. 无论x 怎样变化，y 是常数7. (理科做)一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45o角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆8. 如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC相交于点P ，BPD α∠=，那么CDAB=（ ） A. sin α B. cos αC. tan αD. 1cot tan αα=二、填空题9. 平面////αβγ，直线1l 与,,αβγ依次交于A B C 、、，直线 2l 与,,αβγ依次交于D E F 、、，则:AB BC ________:DE EF （填,,=><）10. 如图，EF 是O e 的直径，MN 是O e 的弦，10,EF cm =8MN cm =，则E F 、两点到直线MN(第10题图) (第11题图)11. 如图，1O e 过O e 的圆心O ，与O e 交于A B 、两点，C 在O e 上，CB 延长线交1O e 于点D ，CO 延长线交1O e 于E ，108EDC ∠=o，则C ∠=__________12. 相交两圆1O e 与2O e 的公共弦长3AB =，延长AB 到P 作PC 切1O e 于C ，PD 切2O e 于D ，若2PC =，则PD =__________13. 如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠=__________(第13题图) (第14题图)14. 如图，AB 是O e 的直径，D 是O e 上一点，E 为»BD的中点，O e 的弦AD 与BE 的延长线相交于C ，若18,AB =12,BC =则AD =__________ 15. 梯形ABCD 中，底2,AD =6,BC =EF 为中位线，对角线BD AC 、与EF 分别交于M N 、，则MN =__________16. 如图，AD CE 、分别是ABC V的两条高，则 (1) A E D C 、、、四点__________（是否共圆） (2) BDE V __________BAC V(∽,≌),为什么？(3) 10,AC =4sin 5B =，则DE =__________17. 如图，PC 是O e 的切线， C 为切点，PAB 为割线，4,PC =8,PB =30B ∠=o ，则BC =__________(第17题图) (第18题图)18. 如图ABC V的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D ，若1,AB =AD =30ADB ∠=o ，则ABCACDS S =V V__________.19. 如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，O e 的弦PN 切A e 于点N ，8,PN =则A e 的半径为__________(第19题图) (第20题图)20. 如图ABC V中，D 是AB 的一个三等分点，//DE BC ，//EF BC ，2AF =，则AB =__________21. 如图，在ABC V中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，DAB DBA ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.(第21题图) (第22题图)22. 如图，AD 是ABC V 的高，AE 是ABC V外接圆的直径，圆半径为5，4AD =，则AB AC =g __________参考答案一、选择题1. C 由三角形面积公式：111643222a b c ⨯=⨯=⨯，643a b c ∴==，设3c k =，则,,643k k k a b c ===，::::2:3:4643k k ka b c ∴==.2. C 依题意:1:2ADE ABC S S =V V ,:DE BC ∴=3. A ACF BCF ∠=∠Q ,ACF ABF ∠=∠,BCF ABF ∴∠=∠又BFE CFB ∠=∠Q ，FBE ∴V ∽FCB V ，得::FB FC FE FB =, ::FB FC FE FB =,4FC ∴=,从而3CE =.4. C 设1CAD ∠=∠，2BAE ∠=∠,由AD DC =得1C ∠=∠，而1DAB ∠+∠=290DAB ∠+∠=o 12∴∠=∠，故2C ∠=∠，又E E ∠=∠，BAE ∴V ∽ACE V5. C 由射影定理知A 、B 正确，因为CD AB ⊥，所以ACD V 外接圆O 中，AC 是直径，又AC BC ⊥,故BC 是圆O 的切线. 6. D EF 是APR V 的中位线，12EF AR ∴=（常数）. 7. D 圆锥侧面展开图中心角180360l r =⨯oo ，12l r ∴=，母线与轴的夹角为30°，而平面α与圆锥的轴成45°，45°>30°，所以截线是椭圆. 8. B PCD QV ∽PAB V CDPDAB PB∴=, Q AB 是半圆O 的直径，90ADB ∴∠=o ，cos PDPBα∴=. 二、填空题 9. =10. 6 提示：由E O F 、、向直线MN 引垂线，垂足分别为E O F '''、、，则有26EE FF OO '''+===11. 36° EDBO 四点共圆，18010872EOB ∴∠=-=ooo,OC OB =Q ,1362C EOB ∴∠=∠=o .12. 2 由切割线定理知22PC PA PB PD ==g ，PC PD ∴=13. 45° 连接BD ，BD 与EC 相交于点F ，设1CED ∠=∠,2DFE ∠=∠ 1A ACE ∠=∠+∠Q ,2CDB ECD ∠=∠+∠,CDB A ∠=∠,ECD ACE ∠=∠,12∴∠=∠,而90ADB ∠=o .14. 14 连接AE ，AB Q 是直径，AE BE ∴⊥，又E 是»BD的中点，BAE EAC ∴∠=∠，从而E 是BC 中点，6BE EC ∴==，18AB AC ==，由CD CA CE CB =g g 得(18)18612AD -⨯=⨯，故14AD =.15. 2 ////EF AD BC Q ，1,1EM NF ∴==，()MN EF EM NF =-+1()()2AD BC EM NF =+-+1(26)222=+-=. 16. (1) 共圆 (2)∽ (3)6.,AD BC CE AB ⊥⊥Q D E ∴、都在以AC 为直径的圆上，即A E D C 、、、 四点共圆，BED ACB ∴∠=∠，又DBE ABC ∠=∠，BDE ∴V ∽BAC V ，3cos 5DE BD B AC AB ===（B 为锐角），365DE AC ∴==. 17.连接AC ，2PC PA PB =Q g ，2PA ∴=，30ACP B ∠=∠=o，在PAC V 中，由正弦定理得24sin 30sin PAC=∠o，sin 1PAC ∴∠=，从而90PAC ∠=o ，60P ∠=o ，90PCB ∠=o，BC ∴==18.2在ABD V 中，由正弦定理得sin sin AD ABABD ADB=∠∠，即1sin sin 30ABD =∠o，1sin 22ABD ∴∠==，从而45ABD ∠=o，45CAD ∴∠=o ，105ACD ∠=o ，从而1054560BAC ∠=-=o o o1212sin sin ABC ACD AB AC BACS S AC AD CAD ∠=∠V V g g gg 2===o19.2 连接NQ MA 、，90PNQ ∠=o Q ,90PMA ∠=o ，34PM PA PN PQ ∴==，又8PN =，6PM ∴=，而2PM PO PQ =g ，3624R R ∴=g，2OA R ∴==20. 92////AB AC DE BC AB AD AD AE AD AC AD AF EF DC AF AE ⎫⇒=⎪⎪⇒=⎬⎪⇒=⎪⎭2AD AB AF ⇒=g ，设BD x =，则2AD x =，3AB x =，而2AF =246x x ∴=32x ∴=,92AB =. 21. 15 DAB DBA ∠=∠Q ，AD BD ∴=，又AD 是中线，BD DC ∴=，易知90BAC ∠=o ，AE BC ⊥Q ，由射影定理得2AB BE BC =g ，27BC ∴=，271215CE ∴=-=.22. 40 连接BE ，ABEQV ∽ADCV ，AB AEAD AC∴=， 41040AB AC AD AE ∴==⨯=g g .。