复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bi c di++8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得：原式22i (i)(i)[i (i)]()ii(i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1． 复数的概念【例1】 已知2(1a i bi i i -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（ ）A ．2，5B ．-3，1C ．-1．1D ．2，32-【答案】D【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = （i 表示虚数单位）【答案】952i +【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【答案】D【解析】2222(1)10t t t -+=-+≠．【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z=的充要条件是1z z=． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B例题精讲【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．2． 复数的几何意义 【例5】 复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】 由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5m i m i i z m m i i i i ---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】 若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．【例7】 如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）A ．1 BC ．2 D【答案】A【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段． i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)--，的距离，其距离为1．【例8】 满足1z =与1322z z +=-的复数z 的集合是（ ）A．1122⎧⎫⎪⎪---⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C．2222⎫⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， D．1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【答案】D【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-表示z 到点102⎛⎫-⎪⎝⎭，与点302⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x =），故选D ．【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，y x的最大值为_______．【解析】2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x【例10】 复数z 满足条件：21iz z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)ix y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ⇒++=+-，化简得：22215339x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故为圆． 【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点．【例11】 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ∴⊥，故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<． 也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭．【例12】 已知复数1z ，2z满足11z =+，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．【答案】；4．【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则12z z ==；12124z z z z +=-=．【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由12z z += 1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=︒，从而121z z -=．【例14】 已知复数z满足(23i)(24z z -++-=，求d z=的最大值与最小值．【答案】max d =，min 1d =【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程22(2)14y x -+=．d =又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =；当83x y ==，时，有max d ．3． 复数的四则运算【例15】 已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（）A ．2- B． C．D ．4【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-⇒=⇒=【例16】 计12+【答案】511-【解析】 原式12121269100121511(i)=+==-+=--．【例17】 已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ） A ．32BCD ．3【答案】A【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ⋅=-+=++-==，故当sin21θ=±时， 12z z ⋅32=．【例18】 对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，． （１）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【答案】（1）13；（2）12z =-． 【解析】 （1）∵z 是方程210x +=的根，∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，， 于是2421C 3P ==． （2）取12z =-+，则212z =-与31z =． 于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．（说明：只需写出一个正确答案）．【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．【答案】123i 2x x =-=，．【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或． 分析：“i i a b c d a c +=+⇔=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)22x ---==．∴原方程的解为13i x =-，22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221b a b +=+，代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或20a b =⎧⎨=⎩， 故方程的根为123i 2x x =-=，．【例20】 已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【解析】12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【答案】1a =±【解析】 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴∆=---=-≥．解得aa ≤．析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．【例22】 设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值．【答案】1k =-或3k =．【解析】 若α，β为实数，则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，解得1k =-．若α，β为虚数，则440k ∆=-<且α，β共轭，2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．综上，1k =-或3k =．【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【解析】 1n =时，结论显然成立；若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++(cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，从而知对1n k =+，命题成立．综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 易直接推导知：(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=（12n a a a ∈R ，，，）的解，求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【解析】 将解代入原方程得：11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=，将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=，即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=，1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=，由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【例25】 设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________．【答案】4【解析】 由511213x y i i i+=---知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+， 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得15x y =-⎧⎨=⎩，故4x y +=．【例26】 已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，）， 则222i (1)i11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数，故220(0)x y x y +-=≠，即z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 法二：∵1zz -是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭（0z ≠且1z ≠）∴011z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到22z z z =+， 设z x yi =+（x y ∈R ，），则22x y x +=（0y ≠）∴z 的对应点的轨迹以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．【例27】 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【解析】 由题意，24z z z =⋅=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤， 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．∴当12a =时，2min 40z z -+=，此时12z =±；当2a =-时，2min 410z z -+=，此时2z =-．【例28】 若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．【答案】64i --【解析】 ∵()23i f z z z =+-，∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得361a b =⎧⎨-=-⎩，解得21a b ==，．∴2i z =+．故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2220z z z z z⇔=⇔>⇔=；③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =⋅，特别地有22()z z =；1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭；2z z z =⋅．⑤zz=，22zz zz ==．1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤．以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值．【答案】0；12-+【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-+，证明与计算略； 法二：由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=．又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，． 由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=．222111121ωωωωωωω++-====-++-+． 【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=（012212n n a a a a ω+∈∈=-N R ，，，，，，）， 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++【解析】23201232n n a a a a a ωωωω+++++3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++++++++++2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++++++++++=设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++，，，则有20A B C ωω++=，即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++．【例31】 设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． （1）求z 的值与z 的实部的取值范围； （2）设11z u z-=+，求证：u 为纯虚数；（3）求2w u -的最小值．【答案】（1）1z=；z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）1．【解析】 （1）设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2w a =，122w a -<=<，112a -<<，所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （2）222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b bu z a b a b a ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以u 为纯虚数． （3）2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223431w u -⋅=-=≥．当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1．【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． （1）设σ是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M σ；（2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【答案】（1）i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，；（2）略【解析】 （1）∵σ是方程1x x+=的根，∴1i)σ=+或2i)σ-，当1i)σ=+时，∵21i σ=，2211111()i n n n σσσσ-==．∴11111i 1i 1M σσσσσ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，，，i)i)i)i)⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，当2i)σ-时，∵22i σ=-，∴2i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，．∴i)i)i)i)M σ⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，；（2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=．于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω⊆．【例33】 已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时， 试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）x x y y⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩；（2）(22y x =-；（3）这样的直线存在，其方程为y x 或y = 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z=⋅==，∴02z =，于是由214m +=，且0m >，得m ，因此由(i))i x y i x y x y ''+=+=+-，得关系式x x y y⎧'=+⎪⎨'-⎪⎩． （2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足(11)1x x y x ⎧'=++⎪⎨'=-⎪⎩， 消去x ，得(22y x ''=-，故点Q 的轨迹方程为(22y x =-．（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点()Q x y -仍在该直线上，()y k x b -=++，即1)(y k x b -+=+，当0b ≠时，方程组1)1k k⎧-+=⎪⎨⎪⎩无解，故这样的直线不存在．当0b ==220k +=，解得k =或k =．故这样的直线存在，其方程为3y x =或3y x =-．【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．()15，D ．()13，【答案】C【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【习题3】 复数45(13i)-等于（ ） A ．13i + B ．13i -+C ．13i -D ．13i --【解析】原式42522516(1i)1(2i)2213i 21313(2)i i 22ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，选B ．【习题4】 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z z z -==，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=．课后检测【习题5】 设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =，求12z A z A+⋅+的值．【答案】5【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +⋅+=+⋅+=+⋅+121212()()z A z A z z A z A z A A =++=⋅+⋅+⋅+⋅，把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得2125z A z A A A A +⋅+=⋅==．。