一、知识要点【复数基本概念及运算性质】1.虚数单位i : 它的平方等于-1，即 21i =-2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数7．复数z 1与z 2的和与差的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 8. 复数的加法运算满足交换律与结合律9．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数.10.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.11.除法运算规则： (a +bi )÷(c +di )=2222dc adbc d c bd ac +-+++ i .（分母实数化） 12. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量13．复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。

||z z ==2222,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭ 15.复数的代数式运算技巧：（1）常用公式：①i i 2)1(2=+ ②i i 2)1(2-=- ③i i i =-+11 ④i i i-=+-11（2）“1”的立方根i2321±-=ω的性质：①13=ω ②ωω=2 ③012=++ωω ④11-=+ωω ⑤ωω=1【实系数一元二次方程的根问题】已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，则： 1）当042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根 21,x x 。

2）当042<-=∆ac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =。

此时有 acx x x x ===212221且a i b x 22,1∆-±-=。

两种题型：1. 已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x -的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112-=-+=-(2)当042<-=∆ac b 时， ab ac x x x x x x 2212211244)(-=-+=-2. 已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x +的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则 a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac ，则 a ac b x x x x x x x x 44)(2212212112-=-+=-=+（2）当042<-=∆ac b 时，a c x x x x x 22221112=⋅==+二、专题训练【真题演练】（06高考）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．（07高考）已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为 A 、4,5p q =-= B 、4,5p q == C 、4,5p q ==- D 、4,5p q =-=- 【答案】A（04高考）已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+,22z a i =--, 其中i 为虚数单位,a R ∈, 若121z z z -<,求a 的取值范围. 【解】由题意得 z 1=ii++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13. 4)4(2+-a <13,得2870a a -+<,17a <<.（05高考）证明：在复数范围内，方程iiz i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解. [证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x)(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.【强化训练】1．（1）计算：19961232132⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-i i i答案：i +-1（2）设复数z 满足关系i z z +=+2||，求z ；解：设z=a+bi （a,b 为实数），由已知可得i b a bi a +=+++222由复数相等可得：⎪⎩⎪⎨⎧==++1222b b a a ，解得1,43==b a ，所以i z +=43设z=a+bi-x+yi （a,b 为实数）复数问题实数化。

（3）若C x ∈，解方程x i x -+=31|| 解：设x=a+bi (a,b ∈R)代入条件得:i b a b a )3(122-+-=+,由复数相等的定义可得：⎩⎨⎧=--=+03122b ab a ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i 。

2.(1)复数z 满足1||||22=--+i z i z ，则z 对应的点在复平面内表示的图形为（A ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线解：令z=x+yi （x ，y∈R），则x 2+(y+1)2－[x 2+(y －1)2]=1，∴y=1/4。

故选A 。

（2）设复数z 满足：3|33|=-+i z ，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z ∈C ，|z －2|=1且复数z －2对应的点落在直线y=x 上，求z 。

解：设z －2=a+ai ，∵|z －2|=1，∴22±=a ， ∴i z 22222++=或i z 22222--=。

3. 设,C z ∈且1-z z是纯虚数，求||i z +的最大值。

解：令z=x+yi （x ，y∈R），则1-z z 222222)1()1(yx yy x x y x +--+--+=，∵1-z z 是纯虚数， ∴⎩⎨⎧≠=-+0022y x y x ，即)0(41)21(22≠=+-y y x ，由数形结合可知本题是求圆)0(41)21(22≠=+-y y x 上的点到A(0,－1)的最大距离。

∴||i z +max =|PA|=215+。

一、（1）复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11ii i i i =+=-+-，选C ．（2）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；（3）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0解析：（1）,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D ； （4）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-m n n 101， ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。

（5）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。

解析：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i i +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4。