复数讲义(绝对经典)复数一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．（4）i的周期性：，，，． 2．数系的扩充：复数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4．复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系：7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算 1．复数与的和的定义：2．复数与的差的定义：3．复数的加法运算满足交换律:4．复数的加法运算满足结合律:5．乘法运算规则：设， ( 、、、 )是任意两个复数，那么它们的积其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律：（1）（2）（3）7．复数除法定义：满足的复数 ( 、 )叫复数除以复数的商，记为：或者8．除法运算规则：设复数( 、 )，除以( ， )，其商为（、 )，即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:②利用于是将的分母有理化得：原式． ∴(点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法． 9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1 ．复数的概念【例1】已知为虚数单位），那么实数a ， b的值分别为（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，【答案】D 【例2】计算：（表示虚数单位）【答案】【解析】∵ ，而（），故【例3】设，，则下列命题中一定正确的是（）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限 C．不是纯虚数D．是虚数【答案】D 【解析】．【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③ 是虚数的一个充要条件是；④若是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤ 的一个充要条件是．⑥ 的充要条件是． A．1 B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；时，，②错；为实数时，也有，③错；时，，④错；⑤⑥正确．2 ．复数的几何意义【例5】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）例题精讲A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A 【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】若，复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B 【解析】结合正、余弦函数的图象知，当时，．【例7】如果复数满足，那么的最小值是（）A．1B．C．2D．【答案】A 【解析】设复数在复平面的对应点为，因为，所以点的集合是轴上以、为端点的线段．表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为．【例8】满足及的复数的集合是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选 D．【例9】已知复数的模为，则的最大值为_______．【答案】【解析】，，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知的最大值为．【例10】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A 【解析】A；设，则有，，化简得：，故为圆．【点评】① 的几何意义为点到点的距离；② 中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．【例11】复数，满足，，证明：．【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．也可设，则由向量与向量垂直知，，故．【例12】已知复数，满足，，且，求与的值．【答案】；4．【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．【例13】已知，，，求．【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，由知，（可由余弦定理得到），故，从而．【例14】已知复数满足，求的最大值与最小值．【答案】，【解析】设，则满足方程．，又，故当时，；当时，有．3 ．复数的四则运算【例15】已知，若，则等于（）A．B．C．D．4 【答案】B 【解析】．【例16】计算：．【答案】【解析】原式．【例17】已知复数，，则的最大值为（）A．B．C．D．3 【答案】A 【解析】，故当时，有最大值．【例18】对任意一个非零复数，定义集合．（１）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；（2）若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵ 是方程的根， ∴ 或，不论或，，于是．（2）取，则及．于是或取．（说明：只需写出一个正确答案）．【例19】解关于的方程．【答案】．【解析】错解：由复数相等的定义得．分析：“ ，且成立”的前提条件是，但本题并未告诉是否为实数．法一：原方程变形为，．由一元二次方程求根公式得，．原方程的解为，．法二：设，则有，，由②得：，代入①中解得：或，故方程的根为．【例20】已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．【答案】．【解析】，，对恒成立．当，即时，不等式恒成立；当时，．综上，．【例21】关于的方程有实根，求实数的取值范围．【答案】【解析】误：方程有实根，．解得或．析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中与并非实数．正：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得．【例22】设方程的根分别为，，且，求实数的值．【答案】或．【解析】若，为实数，则且，解得．若，为虚数，则且，共轭，，解得．综上，或．【例23】用数学归纳法证明：．并证明，从而．【解析】时，结论显然成立；若对时，有结论成立，即，则对，由归纳假设知，上式，从而知对，命题成立．综上知，对任意，有．易直接推导知：故有．．【例24】若是方程（）的解，求证：．【解析】将解代入原方程得：，将此式两边同除以，则有：，即，，由复数相等的定义得．【例25】设、为实数，且，则 =________．【答案】4 【解析】由知，，即，故，解得，故．【例26】已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．【答案】以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．【解析】法一：设（），则是纯虚数，故，即的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．法二：∵ 是纯虚数，∴ （且）∴ ，∴ ，得到，设（），则（）∴ 的对应点的轨迹以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．【例27】设复数满足，求的最值．【解析】由题意，，则．设，则．当时，，此时；当时，，此时．【例28】若，，试求．【答案】【解析】∵ ， ∴又知，∴设（），则，∴ ，即，由复数相等定义得，解得．∴ ．故．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设（）的共轭复数为，则；；② 为实数；③ 为纯虚数；④对任意复数有；；，特别地有；；．⑤ ，．，，．以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例29】已知虚数为的一个立方根，即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．【答案】0；【解析】法一：，解得：或．由题意知，证明与计算略；法二：由题意知，故有．又实系数方程虚根成对出现，故的两根为．由韦达定理有．．．【点评】利用的性质：，可以快速计算一些相关的复数的幂的问题．【例30】若（），求证：【解析】设，则有，即，，解得，即．【例31】设是虚数，是实数，且．（1）求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数；（3）求的最小值．【答案】（1）；的实部的取值范围是；（3）1．【解析】（1）设，，则，因为是实数，，所以，即．于是，，，所以的实部的取值范围是．（2）．因为，，所以为纯虚数．（3）．因为，所以，故．当，即时，取得最小值．【例32】对任意一个非零复数，定义集合．（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；（2）设复数，求证：．【答案】（1）；（2）略【解析】（1）∵ 是方程的根， ∴ 或，当时，∵ ，． ∴ ，当时，∵ ， ∴ ． ∴ ；（2）∵ ，∴存在，使得．于是对任意，．由于是正奇数，，∴ ．【例33】已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，．（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）这样的直线存在，其方程为或【解析】（1）由题设，，∴ ，于是由，且，得，因此由，得关系式．（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，消去，得，故点的轨迹方程为．（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为．∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上， ∴ ，即，当时，方程组无解，故这样的直线不存在．当，由，得，解得或．故这样的直线存在，其方程为或．【习题1】已知，复数的实部为，虚部为 1，则的取值范围是（）课后检测A．B．C．D．【答案】C 【解析】，而，∴【习题2】设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B 【解析】，．【习题3】复数等于（）A．B．C．D．【解析】原式，选 B．【习题4】已知复数满足，且，求证：．【解析】设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．【习题5】设复数，满足，其中，求的值．【答案】5 【解析】，把代入上式，得．。