习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 131113C2228 23111C3/8222 0 3 18 0 0 11112228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 223247CC3C35 313247
CC2
C35
1 0 11232247CCC6C35 21132247CCC12C35 313247
CC2
C35
2 P(0黑,2红,2白)= 2242271CC/C35 12132247CCC6C35 223247CC3C35 0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx
求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFF
X Y
X Y ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4
题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe
求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy 得 A=12 （2） 由定义，有 (,)(,)ddyxFxyfuvuv (34)340012edd(1e)(1e)0,0,0,0,yyuvxyuvyx
其他
(3) {01,02}PXY
12(34)3800{01,02}12edd(1e)(1e)0.9499.xyPXYxy
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,42,20),6(其他yxyxk （1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 2402(,)dd(6)dd81,fxyxykxyyxk
故 18R （2） 13{1,3}(,)ddPXYfxyyx 130213
(6)dd88kxyyx
(3) 11.5{1.5}(,)dda(,)ddxDPXfxyxyfxyxy如图 1.5402127
d(6)d.832xxyy
(4) 24{4}(,)dd(,)ddXYDPXYfxyxyfxyxy如图b 240212d(6)d.83xxxyy
题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=.,0,0,55其他yye
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题6图 【解】（1） 因X在（0，）上服从均匀分布，所以X的密度函数为 1,00.2,()0.20,.Xxfx
其他
而 55e,0,()0,.yYyfy
其他
所以 (,),()()XYfxyXYfxfy独立
5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy
且
其他.
(2) 5()(,)dd25eddyyxDPYXfxyxyxy如图 0.20.2-55000-1d25ed(5e5)d=e0.3679.xyxxyx
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=.,0,0,0),1)(1(24其他yxyxee
求（X，Y）的联合分布密度. 【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,xyxyFxyfxyxy其他. 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=4.8(2),01,0,0,.yxxyx其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)dXfxfxyy x2
04.8(2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx
其他
()(,)dYfyfxyx 12
y4.8(2)d2.4(34),01,=0,.0,yxxyyyy
其他
题8图 题9图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=.,0,0,其他eyxy
求边缘概率密度. 【解】()(,)dXfxfxyy ede,0,=0,.0,yxxyx
其他
()(,)dYfyfxyx
0ede,0,=0,.0,yyxxyy
其他 题10图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx
（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.
【解】（1） (,)dd(,)ddDfxyxyfxyxy如图
2112
-14=dd1.21xxcxyyc
得214c. (2) ()(,)dXfxfxyy
21242
2121
(1),11,d840,0,.xxxxxyy
其他
()(,)dYfyfxyx 522
217
d,01,420,0, .yyxyxyy
其他 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=.,0,10,,1其他xxy
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题11图 【解】()(,)dXfxfxyy 1d2,01,0,.xxyxx
其他 1
11d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yYyxyyfyfxyxxyy
其他
所以
|1,||1,(,)(|)2()0,.YXX
yxfxyfyxxfx
其他
|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.XYY
yxyfxyfxyyxfyy
其他
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表
3 4 5 {}iPXx
Y
X