习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a=------。

（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。

2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。

解 （1）ABC （2）ABAC BC 或ABC ABC ABC ABC ； （3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABCABC ABC；（4）ABC ABC ABC ； （5）ABAC BC 或ABC ABCABCABC ；3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解 （1）123A A A ；（2）123A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ；（4）121323A A A A A A 。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。

解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。

解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540()0.662C P A C =；（2）设B =‘5只中有两只坏的’，则23337540()0.0354C C P B C =.6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A =‘最小号码为5’，则253101()12C P A C ==；（2）设B =‘最大号码为5’，则243101()20C P B C ==.7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则365()365r rP P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或412441()1()11296P P B P B =-=-=. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则2676(22)()0.011077C P A -==. 9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’ 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C 在7个位置中占两个位置，共有27C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ⋅⋅=，而A 中的基本事件只有一个，故227511()3!1260P A C C ==⋅⋅；解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。

一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2n 个…，第k 种元素有k n 个12()k n n n n +++=，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。

不同的排列总数为12!!!!k n n n n ，对于本题有141()7!7!12602!2!P A ===. 10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==.333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=，或182231014()1()115C P A P A C =-=-=，2833107()30C P A C ==.11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nn n =‘每堆各成一双’共有!n 种情况，故12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P AB解()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--=因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是 13．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B .解()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-=--+ 由()()P AB P AB =得14．设事件,A B 及AB 的概率分别为,,p q r ，求()P AB 及()P A B解()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-11q p q r p r =-++-=+-.15．设()()0.7P A P B +=，且,A B 仅发生一个的概率为0.5，求,A B 都发生的概率。

解1 由题意有0.72()P AB =-， 所以()0.1P AB =.解2 ,A B 仅发生一个可表示为A B AB -，故所以()0.1P AB =. 16．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-， 所以()0.4P AB =， 故()0.6P AB =；0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-. 所以17．设AB C ⊂，试证明()()()1P A P B P C +-≤[证] 因为AB C ⊂，所以 故()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.18．对任意三事件,,A B C ，试证()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.[证] ()()()()()()P AB P AC P BC P AB P AC P ABC +-≤+-()P ABAC ={()}()P A B C P A =≤.证毕.19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====，1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解()()()()()()()(P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P A=++---+因为 0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是20．随机地向半圆0y <<（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解：半圆域如图设A =‘原点与该由几何概率的定义解1 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则,0x y a <+<，不等式构A 发生,22a ax y a<<+<不等式确定S 的子4S 的面积 解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且x y z a ++=，不等式确定了三维空间A发生 不()P A 22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.SA =‘充要条件为0 等式确定了S 的子域A ，故23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l la <的针，求针与任一平行线相交的概率.解 设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。

ϕ为针与平行的一个区域S . A 发生的子域A故12()sin 22L LP A d a a πϕϕππ==⎰习 题 二1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+ 所以312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=故1362(|)93P A A ==.2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’ i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’1,2.i =则11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C=‘全是黑色’，则A B C =+，所求概率为4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解()()()() 1.1()(|) 1.10.40.7P A B P A P B P AB P A P B A =+-=-=-=()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。