第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。
每种方法，各有千秋。
均有他们的适用范围和对象。
本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。
很难用解析的方法表示。
只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。
这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：① 实际系统的输入信号不可知性；② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
3.1.2 动态过程和稳态过程——瞬时响应和稳态响应Transient Response & Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。
由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。
如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。
如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。
如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图3-1稳定性分析示意图实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。
本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。
——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。
这个误差表示系统的准确度。
稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
·动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。
通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
tMp 超调量允许误差10.90.50.1t rt pt s图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线t dh(t)0.02或0.05)(∞h )(∞h )(∞h )(∞h① 延迟时间d t ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
② 上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
③ 峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
④ 调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
⑤ 最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值)(∞h 之差的百分比，即%σ%100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σ 13-r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%σ评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
图3-3（a ）所示的RC 电路，其微分方程为)(t r U dtdu RC c c=+ )()()(t r t C t C T =+• （3-2）其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。
i(t)+r(t)+（a ） 电路图RC（c ）等效方块图（b ）方块图图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初始条件为零时，其传递函数为11)()()(+==TS s R s C s φ （3-3） 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为Ss R 1)(=，则系统的输出由式（3-3）可知为 111111)()()(+-=⋅+==TS S S TS s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得Tt et c --=1)( 0≥t （3-4）t注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在0≥t 时的斜率为T 1，如果系统输出响应的速度恒为T1，则只要t ＝T 时，输出c(t)就能达到其终值。
如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：T t d 69.0=T t r 20.2= 误差带）%5(3Tt s =％不存在和σp t3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 11)(+=TS s C 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为)]([)(1s G L t g -=,其表达式为01)(≥=-t e Tt c Tt（3-5）3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems 当2S1R(s)=TST S T S S TS s R s s C ++-=⋅+==11111)()()(222φ对上式求拉氏反变换，得：t Tt TTeT t eT t t c 11)1()(--+-=--= （3-6）因为)1()()()(1t TeT t c t r t e --=-= （3-7）r(t)c(t)t图3-5 一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为T t e e t ss ==∞→)(lim上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 1)(,1)(==⋅∞→⋅t t c t r②由于系统存在惯性，⋅)(t c 从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T ，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应221)(t t r =31)(Ss R = TS T 11+T S T S T S T S T S DS CSB S A S TS s R s sC 1111)11()()()(2223233+-+-=++++=+==φ)83()0()1(21)(122-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-+-=-t e T Tt t t c t T)83()1()()()(12-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-=-t TeT Tt t c t r t e上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式微 分微 分11+TS 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。
因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。