闭环特征方程： D(s) s3 7s2 14s K 0
劳斯表：
系统稳定充要条件：
s3 1 14
s2 7 K
s1 98 - K 0 7
s0 K
K 0 (98 K)
/
7
0
0
K
98
系统临界稳定时：
K 98
系统不稳定稳定时：
K 98
2）要求闭环极点全部位于s=-1左侧，则有新变量
s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1 为变量的特征方程为：
sn a0 a2 a4 s n1 a1 a3 a5 s n2 b1 b2 b3 s n3 c1 c2 c3 sn4 d1 d2 d 3
s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
b1
a1a2
a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
c1
b1a3
a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
s5
1
5
6 解决方法：
s4
1
由全0行的上一行元素构
5
6 成辅助方程F(s)=0，并
s3 0 4 0 10 0 对其求导后，用所得系数
s2 5/2
6
代替全0行的元素。
s1 2/ 5
例如：F(s) s4 5s2 6 0
s0
6
求导得: F(s) 4s3 10s1 0
s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1
D(s) s4 s3 3s2 3s 2 0 各项系数均为正数
s4
1
3 2 解决方法：
s3
1
3 0 ①用无穷小正数代替零
s2 0( ) 2
后继续运算。
s1
3 2
0
②给系统增加一个稳定根。
s0
2
系统不稳定：有两个正实部根
• 特殊情况2：某一行元素全为零
D(s) s5 s4 5s3 5s2 6s 6 0 各项系数均为正数
4、劳斯判据的应用
例1： R(s)
K
C(s)
s(s 2 7s 14)
分析：1）K与系统稳定性的关系？
2）如果要使闭环极点全部位于s=-1垂线左 侧，问K值范围？（系统相对稳定性）
解：1）系统闭环传递函数为：
C(s)
K
K
R(s) s(s3 7s 14) K s3 7s2 14s K
第三章 线性系统的时域分析法
本章主要内容: 3.I 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
➢ 时间域：c(t) ➢ 复数域：G(s) ➢ 频率域：G(jw)
时域分析法
在时间域内研究控制系统性能的方法,它是通 过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的 时间响应，然后根据响应的表达式和响应曲线分析 系统的动态性能和稳态性能。
劳思判据判定稳定性： D(s) s4 2s3 3s2 4s 5 0
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2 2314 1 2510 5 0
2
2
符号改变
s1 1 4 2 5 6 1 0 2 0 0 0
1
s0
5
1 0
符0号改变
系统不稳定，且有两个正实部根
3、劳思(routh)判据的特殊情况
• 特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零
当 x2 时，进行平移变换：
s s) 1
D(s)
s3
s
2s)012
s2
100 s
100K
0
D(s) ) (s) 1)3 40 (s) 1)2 100(s) 1) 100K 0
s) 3 37 s) 2 23 s) (100K 61) 0
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系 数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。
推论： 1）第一列符号改变次数 = 系统特征方程含有正实部 根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。
2、劳思表定义
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
劳斯表出现全零行:
系统在s平面有对称分布的根：
①大小相等符号相反的实根
j
0
②共轭虚根
j
③对称于实轴的两对共轭复根
j
0
0
• 特殊情况3：多行元素全为零
Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根， 则系统不稳定。
参看：《现代控制系统》第八版 Richard C.Dorf Robert H.Bishop著
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
8
K
20
例2：
可见： 根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
系统稳定性只与内部特性有关，与输入无关
2、线性系统稳定的充要条件
系统特征方程的所有根都在S左半平面内
注意：稳定性与零点无关
3、判别稳定性的方法
1）求根法 2）代数判据（Routh） 3）根轨迹法 4）Nyquist判据 5）李雅普诺夫直接法
二、 代数判据--劳思稳定判据
1、判据描述：若线性系统的特征方程表示为：
D1(s) (s1 1)3 7(s1 1)2 14(s1 1) K 0 劳斯表： s13 4s12 3s1 K - 8 0
s13
1
3
s12
4
K -8
s11
12 - K 8 4
0
s10 K - 8
0
全部极点位于s=-1左侧， 即新系统稳定充要条件：
K -8 0 12 K 8
解.
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs 100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1
2000x 100K 20x
0
s0
100K
x0 K 20x
K0
(2)当 x2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。