第三章线性系统的时域分析方法教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、二阶系统的时域分析方法。

教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。

教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。

本章知识结构图：系统结构图闭环传递函数一阶标准式二阶标准式特征方程稳定性、稳定域代数判据误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益公式静态误差系数第九讲3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。

（1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。

（2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。

系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点（1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准） （3）稳定性（稳） 二、动态性能及稳态性能1、动态过程（过渡过程）：在典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。

（衰减、发散、等幅振荡）2、稳态过程：在典型信号作用下，当t → ∞ 系统输出量表现的方式。

表征输出量最终复现输入量的程度。

（稳态误差描述）3、动态稳态性能指标图3-1温度控制系统原理图（1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。

（2）峰值时间tp ：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。

（3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。

（稳）（3-1）%100)(()(%⨯∞∞-=h h t h p ）δ（4）调节时间ts ：输出响应到达并保持在稳态值h(∞)±5%误差带内所用的最短时间。

（快）（5）稳态误差ess ：若时间t - ∞，系统理想输出值与实际输出值的偏差，即ess=输出理想值-实际输出值。

（准） 3.2 线性系统的稳定性分析 一、稳定性的概念1、稳定性：任何一个系统受到扰动作用后，会偏离原来的平衡点，而扰动消除后，经一定时间逐渐会到原来的平衡点，称系统是稳定的。

2、说明（1）稳定取决与本身系统的结构和参数，与输入信号无关。

（2）不稳定的系统受到扰动后，系统输出偏离原来的工作点，随时间的推移而发散。

二、线性系统稳定的充分必要条件1、N 阶系统的脉冲响应（3-2） （3-3） （3-4） （3-5）3、结论：系统稳定的充分必要条件是：系统特征根的实部均小于零或系统 的特征方程根均在S 平面的左半平面。

三、劳斯判据121212121211212()()()()()()()()()0()()()n m n n Nn ii n itttn s z s z s z Y(s)φ(s)R(s)s s s s s s A AA A y s s S S S s y t A eA eA eλλλλλλλλλϕλλλλ=---==------===++=----=++=∑系统的特征方程为：特征根为互不相同的单根，则在初始为零时，脉冲响应的拉氏变换由拉氏反变换，得到单位脉冲响应函数：112()lim 0i i nti i nt i t i A e y t A e λλ=→∞===∑∑、系统稳定充要条件系统稳定时应有),,2,1(0lim n i e Ai t t i ==∞→λ立，只能有为任意性，要使上式成系数1、劳斯判据特点（1）不需要计算复杂的特征方程根；（2）能判断根在S 平面的左半平面和右半平面的个数。

2、判断系统稳定的步骤建模→求特征方程→列劳斯表→判稳假定系统的特征方程为： （3-6）列劳斯表：S n a0 a2 a4 a6 ··· S n-1 a1 a3 a5 a7 ··· S n-2 b1 b2 b3 b4 ··· S n-3 c1 c2 c3 c4 ： ： ： ： ： S 1 d1 d2 S 0 f13、劳斯表列写说明：（1）表中的行数与特征方程中的项数相同。

（2）表中的前两行由特征方程的系数直接构成。

第一行由特征方程的第1、3、5..系数构成，第二行由第2、4、6..构成，劳斯表中以后各行由计算得到。

（3）第三行以后通过计算得到。

系统稳定性的判定条件：劳斯表第一列的数值大于零。

正实根数目的判定：第一列各系数符号改变的次数代表特征方程正实根的数 目（S 平面右半平面根的个数）。

举例例1、设系统的特征方程为s 4+2s 3+3s 2+4s+5=0,试判断系统的稳定性。

解：若特征方程各项系数都不为零，并都是正数，则用劳斯表判稳 列劳斯表：s 4 1 3 5 s 3 2 4s 2 (2*3-1*4)/2=1 (2*5-1*0)/2=5 s 1 (1*4-2*5)/1=-6 001110=++++--n n n n a s a s a s as0(6*5-1*0)/6=5劳斯表第一列系数符号改变两次，系统不稳定，有两个正实部根。

3、劳斯判剧的特殊情况（1）劳斯表中的第一列项为零，而其余项不为零。

例2、设系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+6s+1=0，判断系统的稳定性。

s4 1 3 1s3 2 6s2(2*3-1*6)/2=0--ε(2*1-1*0)/2=1 （用一个小正数ε代替第一列项为零的元）s1(6*ε-2*1)/ ε→∞s0 1劳斯表第一列系数符号改变两次，系统不稳定，有两个正实部根。

（2）劳斯表中出现全零行例3系统的特征方程为D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0,试用劳斯判剧判断系统的稳定性，并指出根的分布情况。

列劳斯表：S6 1 -2 -7 -4S5 1 -3 -4S4(-2+3)/1=1 (-7+4)/1=--3 (-4-0)/1=--4 ***[F(s)=s4-3s2-4=0]S3 4 -6s2-1.5 -4S1-1.67 0S0-4系统不稳定，符号改变一次，只有一个正实部根。

有两个大小相等符号相反的实根或一对共轭虚根，在全零上面一行的系数建立辅助方程F(s)=0,并对辅助方程s求导，用导数方程的系数取代全零行的元，继续劳斯表计算。

dF(s)/ds=4s3-6s=0小结：1、系统的动态性能指标（超调量、调节时间）2、能熟练应用劳斯判据，判断系统的稳定性。

第十讲四、劳斯判据的应用比例积分控制系统结构如图所示：已知参数ζ=0.2，ωn=86.6,试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。

如果要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左，问K1值范围又应当取多大？闭环特征方程：322120n n n S S S K ζωωω+++=，代入ζ=0.2，ωn=86.6，得：S 3+34.6S 2+7500S+7500K 1=0 列劳斯表：S 3 1 7500 S 2 34.6 7500K 1 S 1134.67500750034.6K ⨯- 0S 0 7500K 1系统稳定必须有：1134.6750075000,7500034.6K K ⨯->>解得：0<K 1<34.6当要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左时，令S=S 1-1 代入原特征方程得：(S 1-1)3+34.6(S 1-1)2+7500(S 1-1)+7500K 1=0 整理得：32111131.67433.8(75007466.4)0S S S K ++-= 列劳斯表：312111111117433.831.675007466.431.67433.8(75007466.4)31.675007466.4S S K K S S K -⨯---列不等式：131.67433.8(75007466.4)31.6K ⨯-->0 ；175007466.4K ->0解得：1<K 1<32.3 3.3 线性系统的稳态误差计算稳态误差：在稳态条件下，输出量的期望值与实际的稳态值之间的误差，系统稳态误差应控制在某一个范围之内，工业工程中很多性能指标要求的炉温超过误差限度影响质量。

一、误差与稳态误差 1、误差定义图3-3负反馈系统框图一般定义为, 误差=被控量的期望值-被控量的实际值（1） 按输入量定义： E(S)=R(S)-B(S)=R(S)-C(S)H(S) 其中：B(S)是主反馈信号, R(S)是被控量的希望值。

（2） 按输出量定义：R(S)作为被控量的希望值。

R //()S图3-4误差系统框图()/()()()R S E S C S E S =- ()/E S 是希望输出值, 实际输出()C S ，两种误差存在以下关系,()/()()R S E S N S =，若是单位反馈系统H(S)=1，则两种定义可统一起来。

2、误差传递函数()()()()()()()()()()111()()()1()1()e R S B S C S H S C S H S E S s R S R S R S G S H S G S H S ϕ-===-=-=++ 系统的稳态误差：()()()()00lim lim 1ss s s SR S e SE S G S H S →→==+结论:（1） 稳态误差与信号输入形式有关；（2）稳态误差与系统结构参数有关, 即开环传递函数有关。

3 计算稳态误差的一般方法（1）判定系统的稳定性，不稳定求误差无意义。

（2） 求误差的传递函数 ()()()e E S s R S ϕ=()()()en E S s N S ϕ= （3）用终值定理求稳态误差 ()()()0lim ()ss e en s e S S R S S N S ϕϕ→=+⎡⎤⎣⎦ 4、举例： 系统如图已知， r(t)=n(t)=t ，求系统的稳态误差。

R图3-5 扰动误差系统框图解：（1）控制输入r(t)作用下的误差传递函数()()1(1)()(1)1(1)e E S S TS s k R S s TS Ks TS ϕ+===++++()()()()()()10000lim ()()1()()()()lim lim lim lim 11o o s o o vv ss vs s s s vG S H S kG S H S G S H S S R S SR S S R S e SE S S K G S H S S K S→+→→→→======+++ 2、在干扰n(t)作用下的误差传递函数()()()()()[]1(1)()()1(1)1(1)n n n en n K R S C S T S K S TS E S s K N S N S T S S TS K S TS ϕ-+-+===-=+++++()N S图3-6 扰动误差系统框图干扰作用下的稳态误差为：()()201lim n ssn en ens K e S N S S Kϕϕ→===-由叠加原理得：1nss ssr ssn k e e e k-=+=第十一讲二、系统类型由前述可知：系统的稳态误差与系统结构和输入信号R(S)的形式密切相关,假定系统开环传递函数 ()()111()()1mi i n vv j j K s G S H S S T S τ=-=+=+∏∏ （3-7）其中K 为系统开环增益, i τ和j T 是时间常数，V 为积分环节个数，称为系统的类别。