可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升
越快，响应过程的快速性也越好。
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3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
持初始响应的变化速度
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e-
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
不变，则当t=T时，输出
量就能达到稳态值。
t
实际上，响应曲线的斜
0
T 2T 3T 4T 5T
图 3-4指 数 响 应 曲 线
率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值
的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。
s
C (s)
=
1 .1 Ts + 1 s
=
1 s
−
s
1 +1
T
对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
−t
C (t ) = 1 − e T (t ≥ 0) (3-2)
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3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
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13
3.2 一阶系统的时域分析
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统, 典
型闭环控制一阶系统如图3-3所示.其中 1 是积分环
节，T为它的时间常数。
Ts
R(s)
1
C(s)
-
Ts
3-3 一阶系统的结构图
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号
1 （单位）脉冲函数（Impulse function） δ (t) , t = 0
正弦函数（Simusoidal function）Asinwt ，当输入作用具有周期性变化时。 Aω
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s 自2 动+控ω制原2 理2010年9月
3
3.1.1 典型输入信号
U(t)
1 t2 2
的系统，也可以定义为从0第一
0.1 h(∞)
0 tr
次上升到终值所需的时间。上升
t 时间越短，响应速度越快 。
tp ts
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
3峰值时间 t p
响应超过其终值达到第一个峰 值所需要的时间。
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t
1
δ(t)
0
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1(t)
•Asin（ωt）
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t
4
3.1.1 典型输入信号
在分析系统时究竟采用哪种典型的输入信号？
1）取决于系统常见的工作状态
2）在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统 的典型输入信号
恒值控制系统: 温度、水位、压力等调节系统以及工作状态突 然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃 函数作为典型输入信号。 随动控制系统：斜坡函数 宇宙飞船控制系统:加速度函数 控制系统的输入量是冲击输入量时：脉冲函数 当系统的输入具有周期性变化时：正弦函数
对上式进行拉氏变换，求得单位脉冲响应为
=
s
1 T
+
1 T
C (t) =
1
e
−
t
（T t≥0
(3-3)
C(t)
T）
1
由此可见，系统的单位脉冲响 应就是系统闭环传递函数的拉 氏逆变换。一阶系统的单位脉
T 1 0.368T
斜率
−
1 T2
C(t)
冲响应曲线如图3-5所示。
t
T
2T 3T
图3-5 一阶系统的脉冲响应
稳态过程 是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋近于无穷 时，系统输出量的表现方式，表征系统输出量最终复现输入
量的程度。——稳态响应 Steady_state Response
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3.1.2 动态性能和稳态性能
• 在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如 达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳
小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢。
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3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 Unit-impulse response of first-order systems
r(t) = δ(t), R(s)=1,
C(S) = 1 Ts + 1
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3.1.2 动态性能和稳态性能
t r 或 t p 评价系统的响应速度；
t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
σ% 评价系统的阻尼程度。
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3.1.2 动态性能和稳态性能
（2）稳态性能
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能 指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速 度函数作用下进行测定或计算。若t趋于 无穷时，系统的输出量不等于输入量或输 入量的确定函数，则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的 一种度量。
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3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程， 可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。
设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏 变换为 R ( s ) = 1 ,则输出的拉氏变换为：
式，黄色框中为频域表达式）
1
（单位）阶跃函数（Step function）
1(t) , t ≥ 0
s
典 型 输 入 信
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 t , t ≥ 0 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线
1 s2
1t2 , t ≥ 0 2
1 s3
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h(t)
Mp超 调 量
1 h(∞) 0.9 h(∞)
td
0.5 h(∞)
0.1 h(∞)
0 tr tp ts
3.1.2 动态性能和稳态性能
允许误差
0.02或 0.05
t
4调节时间 t s ：
响应曲线达到并永远保
持在一个允许误差范 围内，所需的最短时 间。用稳态值的百分 数（通常取5%或 2%）作误差范围。
对应的微分方程为：
T dc (t ) + c(t ) = r (t ) d (t)
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3.2 一阶系统的时域分析
在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求 解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号 作用下的输出响应。
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3.1.1 典型输入信号
在大多数情况下， 实际系统的输入信号不可知性,为了便于分 析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较， 需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
典型输入信号：指根据系统常遇到的输入信号形 式，在数学描
述上加以理想化的一些基本输入函数。（白色框中为时域表达
14
3.2 一阶系统的时域分析
系统的传递函数为：Φ ( s ) = C ( s ) = 1 R ( s ) Ts + 1
（3－1）
可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而T也是闭环系统的惯 性时间常数。系统输入、输出之间的关系为：
C ( s ) = Φ ( s ).R ( s ) = 1 R ( s ) Ts + 1
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3.1.2 动态过程和稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都可由 动态过程和稳态过程两部分组成。
动态过程 又称为瞬态过程和过渡过程，是指系统在典型输入信 号作用下，系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际 控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统输出量不可能完 全复现输入量的变化。动态过程通常表现为衰减、发散或等幅 振荡。——瞬时响应Transient Response
响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-4所示。
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3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
图3-4中指数响应曲线的初
1
始（t=0时）斜率为 T . 因此，如果系统保
3.1.2 动态性能和稳态性能
h(t)
Mp超 调 量
允许误差
1延迟时间 t d ：
（Delay Time）响应曲线第一次达 到稳态值的一半所需的时间。
1 h(∞) 0.9 h(∞)
td
0.5 h(∞)