§6.3定积分【复习目标】（1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念；会求简单的定积分。

（2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

【重点难点】定积分的几何意义；利用定积分性质化简被积函数；求定积分值。

【知识梳理】（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。

基本的积分公式：⎰dx 0＝ ；⎰dx x m＝ （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ ；⎰dx e x ＝ ；⎰dx a x＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝ ；⎰xdx sin ＝（表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质 ①()ba kf x dx =⎰（k 为常数）； ②()()baf xg x dx ±=⎰；③⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0）， 及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积 S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝ 。

【课前预习】 1.已知2()f x x =,则与1()f x dx ⎰的值最接近的是（ ）A ．10111()1010i i f =-⋅∑ B ．100111()100100i i f =-⋅∑ C ．1000111()10001000i i f =-⋅∑D ．10000111()1000010000i i f =-⋅∑ 2.1||x dx ⎰＝ （ ）A ．0B ．12C ．1D ．323.1-⎰＝ （ ）A ．πB ．2πC ．3D ．324.求下列定积分. （1）02dx π-⎰＝ ； （2）3120x dx ⎰＝ ；（3）1831x dx -⎰＝ ； （4）122()x x dx ---⎰＝ ；5.求下列定积分.（1）24cos xdx ππ-⎰＝ ； （2）36sin xdx ππ-⎰＝ ；（3）22xdx ⎰＝ ； （4）21e edx x⎰＝ ； 【典型例题】题型一：利用定义求定积分例1．利用定积分定义，求1⎰题型二：利用积分公式求定积分值例2．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+2)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；题型三：利用定积分求平面图形的面积例3 已知直线y ax =与曲线x y e b =+相交于点(0,0),(1,)y ，求直线y ax =与x y e b =+所围成的图形的面积。

题型四：已知定积分的值，求积分限或待定系数的值 ★例4 设函数sin()(0)3y x πωωω=->的周期为T ，若32T ππ<<，且66sin()32x dx πππωω--=⎰，求ω的值.题型五：求变速直线运动的路程及变力所做的功★例5 A ，B 两点在正东方向且相距100m ，质点M 从A 出发，沿东偏北30︒方向，以速度1(/)v m s =做直线运动，同时质点N 从B 出发，沿西偏北60︒方向以速度210(/)v at m s =+做直线运动.若质点M 与N 在C 点处相遇，求N 的速度★例6 在地面垂直向上发射火箭，设火箭质量为m ，火箭距地面高为h .求证：h →+∞时，克服重力所做的功为mRg .【巩固练习】1.曲线4y x =与曲线2y x =所围成图形的面积是 （ ） A ．1240()x x dx -⎰B ．1420()x x dx -⎰ C ．02412()x x dx --⎰ D ．04212()x x dx --⎰2.曲线dx ＝ （ ）A ．2π-B ．π-C ．2πD ．π 3.(sin cos )x x dx ππ--⎰＝ （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4.1(1ln )ex dx +⎰＝ （ ）A ．2e B ．2e C ．e D ．1e -5.2211x e dx --⎰＝ .6.已知函数112(1),01()2),(23)x x x f x x x --⎧+≤≤=≤≤≤≤⎪⎩，求30()f x dx ⎰★7．求曲线213:(10)2C y x x x =---≤≤与曲线2:(10)3x C y x x =-≤≤+所围成的图形的面积S .【本课小结】【课后作业】1.一物体做变速直线运动， v t -曲线如图所示， 则物体在0~6s s 间的运动路程为 （ ）BA ．254B ．252C ．25D ．502.222(cos sin )22x x dx ππ--=⎰（ ）B A ．2π B ．π C ．32π D ．2π3.设2112log M xdx =⎰，2113log N xdx =⎰，则 （ ）BA ．M N >B ．M N <C ．||||M N <D ．||||M N = 4.22|1|x e dx --=⎰5. 已知122011,()(2)a f a ax a x dx -≤≤=-⎰，求()f a 的值域★6．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. (1) 求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.§6.3定积分（简答）【课前预习】1.D2.C3.B4. (1)2π (2)25 (3) 92 (4)236- 5.(1)12+(2)122- (3)23log e (4)1 【典型例题】例1 (1)分割 （2）近似代替 （3）作和 （4）逼近12=⎰例2 （1（2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）（4）例3 13[(1)(1)]22x eS e x e dx =---=-⎰. ★例46666sin()cos()336x x dx x ππππππωωωω---=--==⎰15sin,22(),562666xx k k k Z ωωππππω∴==++∈∴=或.★例5 设质点M 与N 在0t t =时相遇.∵100,30,60,50AB A B AC BC =∠=︒∠=︒∴==∵(10)50t t at dt =+=⎰⎰，220003,(10)50,10,1,10(/)2t tN a t t t a v t m s =+=∴==-∴=-.★例62()()Mmf x GR x =+ 设克服重力所做的功为W ，则20011()()()hhMm Mm W G dx G GMm R x R x R R h==-=-+++⎰ 当0x =时，()f x mg =，∴2211,()R g G W mR g M R R h=∴=-+ 当h →+∞时，克服重力所做的功为W mRg =. 【巩固练习】1.C2.B3.B4.C5. 3322e e --6.(222ln 2ln 233-++- ★7．00002321111311()()[3ln(3)]2322x S x x dx dx x x dx x x dx x ----''=---=----++⎰⎰⎰⎰ln 27ln 81=--【课后作业】1.B2.B3.B4.222e e -+-5. 12212232002272()(2)(),()[,]322369a a a a f a ax a x dx x x f a =-=-=-+∴∈-⎰. ★6.（1）2()21f x x x =++ （2）13（3）由题意有0221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，得1t =.。