第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）化简︒--︒︒︒-160cos 120cos 20cos 20sin 212得（ ） （A ）︒-40sin 1（B ）︒-︒20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1（2）双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是（ ） （A ）1 （B ）－1（C ）315（D ）－315（3）已知)(1x fy -=过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称，则y =g （x ）必过 点（ ）（A ）（－1，3） （B ）（5，3） （C ）（－1，1）（D ）（1，5）（4）已知复数3)1(i i z -⋅=，则=z arg（ ）（A ）4π（B ）－4π（C ）47π （D ）45π（5）（理）曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合（ ）（A ）}97|{<<r r （B ）}9|{≥r r （C ）}9|{≤r r（D ）{9}（文）已知两条直线0:,:21=-=y ax l x y l ，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在)12,0(π内变动时，a 的取值范围是（ ）（A ）（0，1）（B ）)3,33(（C ）)3,1( （D ）)3,1()1,33(6．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） （A ）4cm（B ）2cm（C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于（ ）（A ）42-π （B ）234π-（C ）423-π（D ）4+π（文）函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最小正周期为 （ ）（A ）4π（B ）2π （C ）π （D ）2π8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为 （ ）①26C②665646362C C C C +++③726-④26P 其中正确的结论为（ ）（A ）仅有① （B ）有②和③ （C ）仅有② （D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,22E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成 的角为 （ ）（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π10．给出四个函数，分别满足①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ⋅=+③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅ ④)()()(y x y x ωωω⋅=⋅又给出四个函数的图象则正确的配匹方案是（ ）（A ）①—M ②—N ③—P ④—Q （B ）①—N ②—P③—M ④—Q（C ）①—P ②—M ③—N ④—Q （D ）①—Q ②—M③—N ④—P11．P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心横坐标为（ ）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+12．某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为（ ）M QNN（A ）乙，甲，丙 （B ）甲、丙、乙 （C ）甲、乙、丙（D ）丙、甲、乙第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1，2，3，则这个球的表面积是 ．14．若26)1()1(ax x -+展开式中的x 3项的系数为20，则非零实数a = ．15．△ABC 顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A （－6，8），且△ABC的重心在原点，则过B 、C 两点的直线方程为 ． 16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的自然数n ，有2nn a t tS +=成立，若t a S nn n <∞→lim ，则t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分） 设复数)23(sin cos 1πθπθθ<<+-=i z 且24arg θπ=-z ． 求2sin 21)4cos(2θπθ--的值．18．（理）（本题满分共12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为，M为棱A 1C 1上的动点．（Ⅰ）当M 在何处时，BC 1//平面MB 1A ，并证明之；（Ⅱ）在（I ）下，求平面MB 1A 与平面ABC 所成的二 面角的大小；（Ⅲ）求B —AB 1M 体积的最大值． 18．（文）（图同理18，本题满分12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为A BA 11棱A 1C 1的中点（Ⅰ）求证BC 1//平面MB 1A ；（Ⅱ）求平面MB 1A 与平面ABC 所成的二面角的正切值； （Ⅲ）求B —AMB 1的体积．19．（理）（本题满分12分）设常数,01>>>b a 不等式0)lg(>-x x b a 的解集为M （Ⅰ）当ab =1时，求解集M ；（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a ，b 应满足的关系． 19．（文）（本题满分12分）已知函数)1(log )(x a a x f -= （其中a ＞0，且a ≠1），解关于x 的不等式)1()1(log 1->-fa x a20．（本题满分12分）一家企业生产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足：3－x 与t +1（t ≥0）成反比例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年生产该产品的固定投资为3万元，每生产1万件该产品需再投资32万元，当该产品的售价g （x ）满足xtx x g 2)332(23)(++=时，则当年的产销量相等． （Ⅰ）将2001年的利润y 表示为促销费t 万元的函数；（Ⅱ）该企业2001年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润=收入－生产成本－促销费）21．（本题满分12分）A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． （Ⅰ）试求P 点的轨迹c 的方程； （Ⅱ）直线)(04R m m y mx ∈=--与点P 所在曲线c 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的面积的最大值．A22．（本题满分14分）已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满足x 、y ∈（－1，1） 有)1()()(xyy x f y f x f ++=+．（Ⅰ）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数； （Ⅱ）对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ； （Ⅲ）（理）求证;252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n （文）求证.2)(1)(1)(121->+++n x f x f x f数学试题参考答案一、选择题（理）CBACD DCBCD AB （文）CBACD DCBCD AB 二、填空题（13）14π （14）5 （15）084=-+y x （16）),22(3+∞ 三、解答题 17．解：)24()(arg 24arg θπθπ+=∴+=tg z tg z （2分）即2121cos 1sin θθθθtgtg -+=- 即212121θθθtgtg tg-+=即012222=-+θθtgtg（6分）212±-=∴θtg2124322--=∴<<θπθπtg（8分）)1(22cos )sin (cos 222sin 21)4cos(2θθθθθπθtg +=+=--∴2])21(1)21(21[22)21221(2222=------=-+=θθtg tg即22sin 21)4cos(2=--θπθ （12分）AA 1G18．（理）解：（I ）当M 在A 1C 1中点时，BC 1//平面MB 1A ∵M 为A 1C 1中点，延长AM 、CC 1，使AM 与CC 1延 长线交于N ，则NC 1=C 1C=a连结NB 1并延长与CB 延长线交于G ， 则BG=CB ，NB 1=B 1G （2分） 在△CGN 中，BC 1为中位线，BC 1//GN又GN ⊂平面MAB 1，∴BC 1//平面MAB 1 （4分） （II ）∵△AGC 中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC ⊥AG 又AG ⊥AA 1 A AC AA = 1AM AG ACCA AG ⊥⊥∴11平面 （6分）∴∠MAC 为平面MB 1A 与平面ABC 所成二面角的平面角 221==∠∴a a MAC tg ∴所求二面角为.2arg tg （8分） （Ⅲ）设动点M 到平面A 1ABB 1的距离为h M ．3221232361213131111a a a h a h S V V M M ABB B AB M M AB B =⋅≤⋅=⋅==∆--即B —AB 1M 体积最大值为.1233a 此时M 点与C 1重合． （12分）18．（文）（Ⅰ）同（理）解答，见上（Ⅱ）同理科解答：设所求二面角为θ，则2=θtg （Ⅲ）3224323213111a a a V V ABB M AMBB =⋅⋅==--19．（理）解：（I ）首先,0>-x x b a 即xx b a >即0,11)(>>∴>x baba x得由.1)1(1>-∴>-x x x x aa b a （3分）得01)(2>--x x a a解得251-<x a （舍去）或251+>x a251log +>∴a x ),251(log +∞+=∴a M （6分）（II ）令x x b a x f -=)(，先证),0()(+∞∈x x f 在时为单调递增函数 )212112212211()()()(,0x x x x x x x x b b a a b a b a x f x f x x -+-=+--=-+∞<<<0,,0,,,011212212121<-∴<<-<∴<>>>x x x x x x x xb b b b a a a a x x b a).()(21x f x f <∴得证 （8分）欲使解集为（1，+∞），只须f （1）=1即可，即a －b=1，∴a =b+1 （12分） 19．（文）解：)1(log )1().1(log )(11a fa x fa x a -=-=--由可知0＜a ＜1 （4分）∴不等式)0()1(log )1(log )1()1(log1>->->--a a a fa a x a x a即为（8分）10101110101<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-∴x aa a a a a a a x x xx ∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1} （12分 ） 20．解：（I ）由题意得21,0,13===+=-k x t t kx 代入得将 （2分）123+-=∴t x从而生产成本为3)123(32++-t 万元，年收入为]2)332(23[)(xtx x x xg ++=（4分）]3)123(32[]2)332(23[]3)123(32[)(++--++⋅=++--=∴t x t x x t x xg y （6分）)0()1(235982≥+++-=t t t t∴年利润为y )0()1(235982≥+++-=t t t t（8分）（II ）y 4216250)13221(50)1(235982=-≤+++-=+++-=t t t t t （万元）当且仅当42713221max ==+=+y t t t 时即 （12分）∴当促销费定为7万元时，利润最大．21．解（I ）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则A （－4，0），B （4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 （2分） ∴2a =10 2c=8 ∴a =5，c=4 ∴P 点轨迹为椭圆192522=+y x（4分）（II ）04=--m y mx 过椭圆右焦点B （4，0）)0(192541925)4(2222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=m y x m yx y x x m y092525)1681(9222=⨯-+++∴y y m y m整理得08172)259(22=-++y m y m（6分）2591814259724)(||2222122121+⨯⨯+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-∴m m m y y y y y y 2222190925m m m m +⨯+=*（8分）∵m 为直线的斜率，∴可令m=tg θ代入*得 )0sin (|sin |1sin 25cos 9sin 90|sec |25990192590||22222222221>⋅+=+=++=-θθθθθθθθθθθθθ tg tg tg tg tg tg tg y y.4152490916290sin 9sin 1690sin 169sin 902==⨯≤+=+=θθθθ当且仅当169sin sin 9sin 162==θθθ即 即43sin =θ时，.415||max 21=-y y().15415821max =⨯⨯=∴∆AEF S （12分）22．证：（I ）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数 （4分） （II ）1)21()(1-==f x f ，)(2)()()1()12()(21n n n n n nn nn n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=⋅++=+=+ )}({.2)()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列．12)(--=∴n nxf （4分）（III ）（理）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而.2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n 252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n （6分）（III ）（文）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f .2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n。