伽罗瓦理论---域的扩张与分裂域命题1.如果k 域，(())I p x =,()p x ∈[]k x ,则[]k x I 是域iff ()p x 在[]k x 中不可约.Proof: 假设()p x 不可约，我们证[]k x I 是域。

任取[]k x I中的非零元()f x I +,只需找到其逆即可。

由于()f x I +非零，则()f x ∉I ，即|p f /，又()p x 不可约， 故(,)1p f =，从而存在,[]s t k x ∈使得1sf tp +=，为此我们有1sf tp I -=∈ 即()()1s I f I sf I I ++=+=+，这说明1()f I s I -+=+。

由()f x I +的任意性知[]k x I是域。

另一方面假设[]k x I是域。

假设()f x 可约，（此处用()f x 代替()p x ）。

则()f x 在[]k x 中有分解式()()()f x g x h x =，且deg()deg(),deg()deg()g f h f <<。

下面说明,g I h I ++是[]k x I中非零元，否则(())g I f x ∈= 则有|f g ，即deg()deg()f g ≤，这与deg()deg()g f <矛盾，故,g I h I ++是[]k x I 中非零元。

注意到()()g I h I f I I ++=+=，即,g I h I ++是[]k x I 的零因子，这与假设[]k x I是域矛盾（域是整环，无零因子）。

#命题2.设k 是域，()p x ∈[]k x 是d 次首一不可约多项式（monic irreducible ）, 设[]k x K I =，其中(())I p x =，且设x I K β=+∈. (i) K 是域，且{,}k a I a k '=+∈是同构于k 的K 的子域，因此K 可以看做是域k 的扩张.(ii) β是()p x 在K 中的根.(iii)如果()[]g x k x ∈，且β是()g x 的根，则|p g .(iv) ()p x 是[]k x 中唯一的以β为根的首一不可约多项式.(v)若将K 看做k 上的线性空间，则211,,,,d βββ-是K 的一组基，记[:]K k 为其维数，则[:]K k d =.Proof: (i)命题1已证K 是域，下找出k '于k 之间的同构。

取环[]k x 到其商环K 的自然同态:[]k x K π→，取其在k 下的限制:k K ϕ→，()a a I ϕ=+。

下证明ϕ是k '于k 之间的同构。

首先其是同态，且im k ϕ'=，即亦为满设，又k 是域，其理想只能是平凡理想，且ker ϕ是k 的理想，显然ker ϕ只能是{0}，从而ϕ是单射，综上ϕ是k '于k 之间的同构.(ii)设01()d d p x a a x a x =+++，其中i a k ∈，在[]k x K I=中把β带入()p x 得，注意在带入β时需利用(i)中的同构把()p x 的系数换作k '，于是我们有： 01010101()()()() =()()()()() =()()() =()d d d d d d d d p a I a I a I a I a I x I a I x I a I a x I a x I a a x a x I p x I Iβββ=++++++++++++++++++++++++=+=即β是()p x 在K 中的根.(iii)设 ()[]g x k x ∈，且β是()g x 的根，假设|p g /，则(,)1p g =)（p 不可约）存在,[]s t k x ∈使得1sg tp +=，将其看做K 中的等式，且将β带入得0=1,这显然是矛盾。

故|p g .(iv)设()h x 是[]k x 中以β为根的首一不可约多项式，由(iii)知|p h ,又h 不可约所以h cp =，c 为常数，又,p h 均为首一多项式故p h =.(v)任取()f x I K +∈，对(),()f x p x 使用带余除法，存在,[]q r k x ∈使得f pq r =+，且0r =或者deg()deg()r d p <=，因为f r pq I -=∈，这意味着f I r I +=+。

设1011()d d r x b b x b x --=+++其中i b k ∈，则在(ii)的证明中我们知道()()r x I r β+= 故1011()(),d d i f x I r b b b b k βββ--+==+++∈，即21{1,,,,}d span K βββ-=。

只需证211,,,,d βββ-线性无关，为此我们证明()f x I +的表示是唯一的。

假设11011011d d d d b b b c c c ββββ----+++=+++，且定义()[]g x k x ∈，10()()d i i ii g x b c x -==-∑，若0g =则得证。

若g 非零，显然g 以β为根，由(ii)得|p g ，则deg()deg()d p g =≤矛盾故0g =从而()f x I +的表示是唯一的.即211,,,,d βββ-是K 作为k 上线性空间的一组基，显然[:]K k d =.#定义1.如果域K 包含k 作为子域，则称K 为域k 的域扩张（field extension ）记作K k 。

一个扩张K k 称为有限扩张，如果K 可以作为k 上有限维线性空间。

其维数记作[:]K k ，称为扩张K k 的度（degree ）.例1．21[]x x +∈中的不可约多项式，由命题2知2[](1)K x x =+是度为2的域扩张K k 。

如果β是21x +的根，则21β=-；K 中的每一个元素都有唯一的表示,,a b a b β+∈，显然K 是的另一种构造方式。

下面以一种自然的方式建立K 于之间的同构。

一般以i 记上述β，考虑赋值映射:[]x ϕ→，(())()f x f i ϕ=,首先ϕ是满射，()a bi a bx ϕ+=+，其次ker {()[],()0}f x x f i ϕ=∈=是以i 为根的全体多项式。

我们知道21ker x ϕ+∈，所以2(1)ker x ϕ+⊆；对于反包含关系，任取()ker g x ϕ∈，且()g x 以i 为根， 则2(,1)1g x +≠在[]x 中，因此2(,1)1g x +≠在[]x 中也成立，而21x +在[]x 不可约得21|()x g x +，从而2()(1)g x x ∈+，故2(1)ker x ϕ+=。

由同态基本定理知2[](1)K x x =+同构于。

定义2.设K k 是域扩张.元素K α∈称为域k 上的代数元，如果存在以α为根的非零多项式()[]f x k x ∈；否则，称α为域k 上的超越元.域扩张K k 是代数扩张，如果对任意的K α∈都是域k 上的超越元. 一个实数是超越数，如果它是上的超越元.命题3.如果K k 是有限扩张，则K k 是代数扩张.Proof: 设K k 是有限扩张，根据定义K 是域k 上的有限维线性空间，设[:]K k d =，则任意K α∈，21,,,,dααα线性相关，存在不全为零的i a k ∈使得00di i i a α==∑，即多项式0()[]d iii f x a x k x ==∈∑以α为根，故α是域k 上的代数元， 由α的任意性K k是代数扩张.#注命题的逆命题不成立.定义3.如果K k 是域扩张，且K α∈，则()k α是所有那些包含k 及α的K 的子域的交，称()k α为K 的添加α到k 得到的子域.更一般的设A K ⊆，则()k A 是所有那些包含k 及A 的K 的子域的交，称()k A 为K 的添加A 到k 得到的子域，特别当A 为有限子集12{,,,}n z z z 时记作12(,,,)n k z z z . 显然()k A 是包含k 及A 的K 的最小子域，即若B 是包含k 及A 的K 的子域，则()k A B ⊆.下面的命题将指出，命题2中的域[](())K k x p x =（()p x 是[]k x 中首一不可约多项式）与根的添加有密切关系.命题4. (i)如果K k 是域扩张，且K α∈是k 上的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式()[]p x k x ∈以α为根.此外，如果(())I p x =，则[]()k x I k α≅，事实上存在同构:[]()k x I k ϕα→使得(),(),x I c I c c k ϕαϕ+=+=∈(ii) 如果K α'∈是()p x 的另一个根，则存在同构:()()k k θαα'→使得(),(),c c c k θααθ'==∈.Proof: (i)考虑赋值映射:[]()k x k φα→，(())(),()[]f x f f x k x φα=∈显然φ是同态，由同态基本定理知[]ker k x im φφ≅，ker φ是一切以α为根的多项式组成的[]k x 中的理想，而[]k x 的理想都是主理想，故存在首一多项式()[]p x k x ∈使得ker (())I p x φ==；im φ是一切由α组成的多项式是K 的子环，由于[]k x I im φ≅由命题2知，()p x 在[]k x 中不可约，且im φ是域，这样的()p x 是唯一的.又im φ包含α及k ，反之任何包含α及k 的K 的子域必包含im φ，故()im k φα=，则同构1ϕφπ-=其中π是自然同态，则1()()()x I x I x ϕφπφα-+=+==，1()()(),c I c I c c c k ϕφπφ-+=+==∈.(ii)由(i)知存在同构:[](),:[]()k x I k k x I k ϕαψα'→→，则1θψϕ-=，11()()(),()()(),x I c c c c c k θαψϕαψαθψϕψ--'==+====∈.#命题4说明对一个给定的域扩张K k 每一个代数元K α∈，若将α添加至k 得到域()k α，则()k α相当于[](())k x p x ,()[]p x k x ∈是以α为根的首一不可约多项式.把该多项式称为α的域k 上的最小多项式.定义4.如果K k 是域扩张，且K α∈是k 上的代数元，则唯一的以α为根的首一不可约多项式()[]p x k x ∈称为α的域k 上的最小多项式（minimal polynomial ）,记作()(,)p x irr k α=最小多项式和基域k 有关，如，2(,)1,(,)irr i x irr i x i =+=-.命题5.设k E K ⊆⊆是域，且E 是k 的有限扩张，K 是E 的有限扩张，则K 是k 的有限扩张，且[:][:][:]K k K E E k =Proof: 设1,,n A a a =是E 关于k 的一组基，1,,m B b b =是K 关于E 的一组基，下面证明所有的i j a b 记作C 是K 关于k 的一组基;设u K ∈，存在j E λ∈使得1m j j j u b λ==∑，对每个j E λ∈存在ij k μ∈使得1n j ij i i a λμ==∑ 则11m n ij ij j i u a b μ===∑∑，故spanC K =，下面证C 线性无关，假设0ij i j ij a b μ=∑，若设j ij i i a E λμ=∈∑，则0j j j b λ=∑，由于B 是K 关于E 的一组基，则有0j ij i i a λμ==∑又A 是E 关于k 的一组基，故0ij μ=，故C 线性无关，综上C 是K 关于k 的一组基，显然有[:][:][:]K k K E E k =#例2 .设42()101[]f x x x x =-+∈.若β是它的一个根，则25β=±25±=，于是,1a b =±是()f x 的四个根.容易知道f 的有理根只有1±，故其在[]x 中不可约.设(2,3),(23)F E ==+，则显然有E F ⊆，于是存在域塔E F ⊆⊆，由命题5知[:][:][:]F F E E =，因为(23)E =+[]x 中不可约多项式()f x 的根，所以[:]4E =；另一方面[:][:(2)][(2):]F F =，注意到[(2):]2=，因2)2irr x =-(2)则[:(2)]1F =，或者23x -在(2)不可约此时[:(2)]2F =，总之[:]4F ≤，综上[:]4F =，故[:]1F E =，即F E =，这意味着F 可以通过添加()f x 的根得到，亦可以添加22()(2)(3)g x x x =--的根得到.下面的命题至关重要，它表明对于任意多项式()[]f x k x ∈存在包含k 的域E 包含()f x 的所有跟. 命题6.（Kronecker ）如果k 是域且()[]f x k x ∈，则存在域K 包含k 作为子域且()f x 在[]K x 可分解为线性多项式的乘积.Proof: 对deg()f 做数学归纳法，当deg()1f =时K k =；如果deg()1f >，设()()()f x p x g x =，其中()p x 是[]k x 中不可约多项式，由命题2知存在域F 包含k 即()p x 的根z ，从而在[]F x 中我们有()()()p x x z h x =-且()()()()f x x z h x g x =-.由归纳假设存在域K 包含F 且()()h x g x 在[]K x 可分解为线性因式乘积，从而()f x 在[]K x 亦可分解为线性因式的乘积.#对于,,k =,上述定理即为代数基本定理，但,()([])p k x Frac x ==命题6比代数基本定理走得远，如存在一个域包含()x .上述命题也保证了对于任意给定的多项式()[]f x k x ∈，1(,,)n k z z 总是存在的1,,n z z 是()f x 的根.定义5.设k 是域K 的子域，且()[]f x k x ∈,我们称()f x 在K 上分裂（splitting over K ）如果1()()()n f x a x z x z =-- 其中1,,n z z 在K 中且a k ∈非零.如果()[]f x k x ∈是多项式，则域扩张E k 称为()f x 在k 上的一个分裂域（splitting field ），如果()f x 在E 上分裂，但()f x 不在任意E 的真子域上分裂.例3. 考虑2()1[]f x x x =+∈，()f x 的根是i ±故()f x 在上分裂；但不是21x +在上的一个分裂域，因为不是包含及i ±的最小域.一般()[]f x k x ∈的分裂域与k 及()f x 都有关系；21x +在上的分裂域是()i ，而在上的分裂域是()i =. 推论1.设k 是域且()[]f x k x ∈，则存在()f x 在k 上的分裂域.Proof ： 由命题6知存在域K ，()f x 在K 上分裂，即1()()()n f x a x z x z =--其中1,,n z z 在K 中且a k ∈非零.则子域1(,,)n E k z z =是()f x 在k 上的分裂域.。