2018/10/13
引言 近世代数理论的两个来源
有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能 求根。 最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(1811-
1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新 的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群 与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
An到D的一个n元映射。 一的d D,则称 是A1 A2
d叫做(a1 , a2 ,
an )在之下的象; (a1, a2 ,
an ) d (a1, a2 ,
an )叫做d 在下
an )
的一个逆象(原象). 用符号表示:
: (a1, a2 ,
2018/10/13
§2 映射
A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
n i 1
Ai A1
n
A2
n
An ,
i 1
Ai A1
A2
An .
x x
2018/10/13
i 1 n i 1
Ai Ai , x Ai . Ai Ai , x Ai .
§1 集合
集合的差运算： A B {x | x A但x B} 即A-B是由一切属于A但不属于B 的元素所组成。
则 不是一个A B到D的映射.
例5 设A=D=R. 定义
: a a, 若是 a 1
1 b, 这里 b2 1 则不是一个A到D的映射.
§2 映射
映射定义要注意以下几点:
1） 集合 A 1, A 2,
2） A1 , A2 ,
, An , D 可以相同;
, An 的次序不能掉换;
例2 设A是非零有理数集，B是整数集. 令
n f: n m
则 f 不是A到B的一个映射. 因为
1 2 , 2 4
2 但是 f （1 ） f （ ） 2 4
2018/10/13
§2 映射
多元映射:
定义 设有n个集合A1，A2， ，An和一个集合D。 (a1, a2 , an ) A1 A2 An , 如果通过一个法则 , 唯
an )
§3 代数运算
实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二
元映射。比如加法：
: (a, b) (a, b) a b.
定义1 一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数 运算. 即代数运算就是一种二元映射. 注 (1) 为什么叫运算？不妨设 : A B D 是映射，若
2018/10/13
第一章 基本概念
§1.集合 §2.映射 §3.代数运算 §4.结合律 §5.交换律





§6.分配律 §7.一一映射、变换 §8.同态 §9.同构、自同构 §10.等价关系与集 合的分类
2018/10/13
§1 集合
集合 若干个固定事物的全体. 组成集合的对象称
结论：一个集合的代数运算并不能保证
(a b) c a (b c)
§4 结合律
定义 称一个集合A的代数运算 适合结合律，假如 对于A 的任何三个元a，b，c来说，都有 （a b ） c a （b c ） ( 注意：a，b，c可以是相同的元) 。
引例 A R, a，b A，规定A的代数运算如下：
a b=2a 3b，请计算：
( a b) c a (b c)
(a b) c (2a 3b) c 2(2a 3b) 3c 4a 6b 3c
a (b c) a (2b 3c) 2a 3(2b 3c) 2a 6b 9c
A B x，x A x B.
2018/10/13
§1 集合
若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B, 则说B是A的真子集，记为 B A . 集合相等: 真子集
A B A B, 且 B A.
以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记
为P(A).
如果集合A包含有无穷多个元素，则记为 A =； 如果集合A包含n个元素，则记为 A = n ，且 P( A) 2n. A和B的交集:
2018/10/13
引言 近世代数理论的两个来源
1) 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二 次方程 ax2+bx+c=0 。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解 高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大 利数学家 G.Cardano(卡尔达诺 )在他的著作《大术》中给出 了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们 力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。 直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel才证明五次和 五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知 道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除
Ai A1 A2
i 1
2018/10/13
n
An {(a1 , a2 ,
an ) ai Ai }
§1 集合
常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z
全体有理数的集合，表示为Q
全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
2018/10/13
§2 映射
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
2018/10/13
引言 近世代数理论的两个来源
2) Hamilton 四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来 发现可以把复数看成二元数 (a,b)=a+bi，其中i2= -1。 二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd) 的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面 上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否 存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败 了。但是爱爱尔兰数学家 W. Hamilton(1805-1865)于1843年
A B {a a A, 并且a B}
并集： A B {a a A或a B}
§1 集合
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去。 设 A1 , A2 ,, An 是给定的集合. 由 A1 , A2 ,, An 的一切元 素所成的集合叫做 A1 , A2 ,, An 的并；由 A1 , A2 ,, An 的一 切公共元素所成的集合叫做 A1 , A2 ,, An 的交.
C Ø 注意：并没有要求B是A的子集. 例如，
集合的积： 设A，B是两个集合，令 A B {(a, b) | a A, b B}
则称A×B为A与B的笛卡儿积(简称为积). 其中序对(a, b)的 第一个元素a称为第一分量(或坐标)，第二个元素b 称为第二
分量(或坐标).
可以定义多个集合的积：
3）映射一定要替每一个元规定一个象; 4）一个元只能有惟一的象;
5）所有的象都必须是D的元. 映射相等:
设1和2都是A 1A 2
An到D的映射.则 1 =2
(a1, a2 ,
an ) A1 A2 An , 有1 (a1, a2 ,
an ) 2 (a1, a2 ,
例3 设 A1 A2
An D R，定义：
an ) a12 a22 an2
An到D的映射.
: (a1, a2 ,
an ) (a1, a2 ,
则 是一个A 1A 2
例4 A={东,南}, B={南}, D={高,低}. 定义
: (西,南) (西,南)=高
高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本 概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因 此，在本课程的学习中，大家要多注意实例, 以加深 对概念的正确理解。 近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但 习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应 适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材 内容和方法以及习题课内容。
2018/10/13
引言 近世代数理论的两个来源
成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可 以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们 对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也 成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一 个重要理论来源。
为集合的元素。集合一般用大写字母 A，B，C，…来表 示。集合的元素一般用小写字母a，b，c，…来表示。 集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于
A，或说A包含a，记为 a∈A ; 若a不属于A, 或说A不包含 a, 记为 a A .
空集合 一个没有元素的集合， 记为 Ø。 子集 若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的 子集，记为 B A; 否则, B不是A的子集，记为 B A.
2018/10/13
引言 近世代数理论的两个来源
被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创 始人之一。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦 群”和“伽罗瓦理论”是近世代数所研究的最 重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪 最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题 加罗华 提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家 们长达 数百年之久的问题。群论开辟了全 全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的 思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归 类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的 形成和发展产生了巨大影响。
3) a b a2 b2，
练习：
根据定义，它们都不是A的代数运算。
例2 并与交是否是非空集合A的幂集P(A)的代数运算? 例3 矩阵乘法是否是全体n阶可逆矩阵的代数运算？ 例4 设A＝｛a, b, c｝．规定A的两个不同的代数运算．