’ 图 ’） ， .% "!%（ &） .’ 为曲边三角形 !/2 绕 & !& ，
轴旋转所成旋转体体积 ， .! 为矩形区域 !&!( 绕 & 轴旋转而成旋转体体积， 则有 !. " .% $ .’ ，
图’ 体积微分分析 ’%
株洲师范高等专科学校学报
（总第 !. 期） !))! 年第 ! 期
显然 !! " !# ，因 （ 是关于 # 的连续函数， 有（ " #） " # $ !# ） %（ " #） $!，其中 &’(! % )， # )
分割后的小立体分别视为圆柱体和圆台的原因 & 关键词： 应用； 微元法；计算；体积； 侧面积 中图分类号： ’"%# & # 文献标识码： ( 文章编号： （#$$#） "$$) * "!+# $# * $$#$ * $!
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［%］沈燮昌 , 数学分析 ［-］ 高等教育出版社， , 北京： %./0 , /. 1 .0 , ［$］华东师大数学系 , 数学分析 ［-］ 高等教育出版社， , 北京： %./2 , &"0 1 &%3 , ［&］刘玉琏， 傅沛仁 , 数学分析讲义 ［-］ 高等教育出版社， , 北京： %..$ , &/" 1 &/2 ,
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函数增量的近似值
函数 ( " %（ & ） 在 & & 的改变量 !( 与自变量 & 的改变量 !& 有下列关系， !( " !!& $ ’ （!& ） ， 是 !& 的高阶无穷小量， 在 && !!& 是 !( 的线性主要部分，（ ’ !& ） !!& 称为函数（ % &） 的微分 $ 由微分定义可知， 但用微分 !!& 作近似代替时， 其误差 !( 的近似值虽然有很多， 用微分近似代替 !( ， 计算非常方便 $ 必为一个比 !& 更高阶的无穷小量 $ 另外，
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［#， +］ 弧长微分） ， 即把分割后的小立体近似看成圆台 ， 把小圆台侧面积视为面积微元 &
那么， 对于同一个旋转体， 计算体积和侧面积时， 都采用了 “微元法” ， 为什么计算体积时 把分割后的微元近似看成圆柱体， 而在计算侧面积时把分割后的微元近似看成圆台呢？究 竟应把分割后的微元近似视为何种立体？故有必要重申微元法的基本步骤： 设所求量 ( 具 有可加性， 则： ［ ! ，" ］ "）确定所求量 ( 与自变量 % 及其变化范围 & #）确定所求量 ( 的微元 J ( &
图#
高为 + 底面半径为 , 的圆锥
显然 , ! %"
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王名学： 立体体积和侧面积计算中的微元法
#$ $ % $ # $ ! !# $ " % & "$ " " 若面积微元用圆柱体的侧面积作近似代替， 则有面积微元 $） 再求侧面积， !!
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# （ $ & $） ! "$ ! $ ! " $"$ % 计算圆台侧面积的实际值， 判定上述的面积微元是否为 "’ 的线性主要部分： "$ ! ［ # $ ’ # （ $ ’ $ ） "$ ! ［（ ］ & $） ’（ & $ ’ "$ ） "’ ! ! " ］ ()* ( ! " " ()* ( # # #$ ! " （$ $ ’ "$ ） "$ *+( " ! ! " （$ $ ’ "$ ） % ’ $"$ ! "
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［ （$ " $ ’ # $ ）) " $］$"$ ’ （ * "$ ） % !# " # 显然 "’ 线性主要部分为 ［ （$ 前述的“面积微元” " $ ’ # $ ）) " $］$"$ ， $ !# " ! " $"$ 并 不是 "’ 的线性主要部分， 即不是面积 ’ 在 $ 的微分， 实际的面积微元应为： ［ （$ " $ ’ # $ ）) " $］$"$ ! $ !# " ! 于是 ’! （$ " !# " ! # ’ !!
收稿日期： #$$" * "" * $" 作者简介： 王名学 （")X! * ） ， 男， 湖南益阳人， 株洲师专数学系讲师 & #$
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王名学： 立体体积和侧面积计算中的微元法
"
!）计算定积分 ! "
从而求出所求量 $ !# !，
#
三个步骤中， 第二步是关键， 确定所求量 ! 的微元 $ # ! 表示为 # ! " （ % &） !& 的形式 ， 对自变量 & 及增量 !& 在区间 ［ & ，& $ !& ］ 求出 ! 的增量 !! 的表达式 !! " # ! $ ’ （!& ） ， 其中 ’ （!& 是 !& 的高阶无穷小， #! " （ % &） !& 为 !! 的线性主要部分 $ # ! 的表示是否正 确， 决定所求量 ! 的计算是否正确 $
（责任编辑： 曾广慈
英文译校： 文爱军）
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立体体积和侧面积计算中的微元法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 王名学 株洲师范高等专科学校,数学系,湖南,株洲,412007 株洲师范高等专科学校学报 JOURNAL OF ZHUZHOU TEACHERS COLLEGE 2002，7(2) 0次
将区间 ［ ! ，" ］ 上连续的曲线 # O （ 绕 % 轴旋转一周得旋转体 & 该旋转体体积为 ’ O $ %） " 即把分割后的小立体近似看成圆柱体 J % ，体积微元 J ’ O"$（ % ） J %， !$（ %）
# # ! " ［"］
， 把小圆柱
体体积视为体积微元， 旋转体侧面积为 ( O # 面积微元 J ( O # （ $ %） J )， $ %） J（ ) J ) 表示 " （ "
第%卷 第#期 #$$# 年 ! 月
株洲师范高等专科学校学报
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立体体积和侧面积计算中的微元法
王名学 !
（株洲师范高等专科学校 数学系， 湖南 株洲 !"#$$%）
摘 要： 分析了在定积分的应用中如何确定所求量的微元 & 讨论了求旋转体体积和侧面积时， 把
! 是体积 ! 在 # 的微分， 也恰是矩形区域 上式表明 ""（ #） !# 是 !! 的线性主要部分，
在计算旋转体体积时， 分割后的微元可用圆柱 &’() 绕 # 轴旋转所成的圆柱体体积 $ 因此， 体近似代替 $
! 求旋转体的侧面积时， 区间 ［ # ，# $ !# ］ 上的弧长微分 , * % "+ $ " ’ （ 由 ! 的讨 #） !# ，
参考文献(3条) 1.沈燮昌 数学分析 1986 2.华东师大数学系 数学分析 1985 3.刘玉琏.傅沛仁 数学分析讲义 1992
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