开始 结束A 1, S 1A ≤H S 2S +1 A A + 1 输出SNY（第5题 图）江苏省扬州中学2012－2013学年第一学期高二数学质量检测卷 2012.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1．已知命题p ：1cos ,≤∈∀x R x ， 则:p ⌝ ▲ 2．关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料，若由资料知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为51ˆ+=bx y，则b = ▲x2 3 4 5 6 y246673, 已知()(1,0),3,0M N l -两点到直线的距离分别为1和3, l 则满足条件的直线的条数是 ▲4.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为▲5．如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数H 的值是▲ 6. 在平面直角坐标系xO y 中，双曲线:C 221124xy-=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若F A B ∆的面积为83，则直线的斜率为_____▲_______.7. 用分层抽样方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有300人，则该学校这三个年级共有 ▲ 人． 8. 右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上 某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为 ▲9．“a +b ≠6”是“a ≠2或b ≠4”成立的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)10. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分。

如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0010，则第41个号码为 ▲ 。

11. 设AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，7 88 4 4 4 6 7 9 2 4 7 第8题图则动点P 的轨迹是 ▲12. 已知抛物线P x y 上的点42=到抛物线的准线距离为d 1，到直线0943=+-y x 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是 ▲13．已知A 、B 、C 是椭圆1162522=+y x 上的三点，点F （3，0）,若0=++FC FB FA ，则=++FC FB FA ▲14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OB OA OC μλ+=，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分）。

15.（14分）从某校参加2012年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；（3）若成绩不低于100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？16. （14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ．分组 频数 频率 [70，80） 0.08 [80，90） ③[90，100）0.36 [100，110） 16 0.32 [110，120） 0.08 [120，130）2②[130，140]0.02 合计①分数708090100110120130140组距频率040.0036.0032.0028.0024.0020.0016.0012.0008.0004.0（1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．17. （14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221xya b-=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是226(,)33M ． （1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．18. （16分）如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L ⊥直线AB 。

点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交L 与M 、N 点。

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程； （2）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点。

19.（16分）命题p ：b a t -≥-2)1( ，其中ba ,满足条件：五个数b a ,,22,20,18的平均数是20，标准差是2； 命题q ：m ≤t ≤n ，其中m,n 满足条件：点M 在椭圆1422=+yx上，定点A(1,0)，m 、n 分别为线段AM 长的最小值和最大值。

若命题“p 或q ”为真且命题“p 且q ”为假，求实数t 的取值范围。

20. （16分）已知曲线11(0)x yC a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设A B 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段A B 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中NMPBAOL心的点．（i ）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（ii ）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求A M B △的面积的最小值．命题：高二数学备课组高二数学质量检测参考答案 2012.121. 1cos ,:>∈∃⌝x R x p2.653. 34.5512 5. 5 6.217. 900． 8.170 9.充分不必要 10. 081011. 椭圆 12. 12513.54814. ()2+∞，15．解：（1）50；0.04；0.10．（2）如图． （3）在随机抽取的50名同学中有7名出线,．2075023450=⨯答：在参加的450名中大概有207名同学出线．16. 解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的充要条件是2251a b=+即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或a =4,b =3,c =5两种情况． ∴直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的概率是213618=（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种 当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种当a =5时，b =1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．17. 解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． 把226(,)33M 代入方程22y px =，得2p = 因此，抛物线1C 的方程为24y x = 于是焦点(1,0)F （2）抛物线1C 的准线方程为1y =-，所以，1(1,0)F -而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ，于是 17522333a M F M F =-=-= 因此，13a =又因为1c =，所以22289b c a =-=．于是，双曲线2C 的方程 为2211899xy-= 因此，双曲线2C 的离心率3e =．18. 解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O 的方程为224x y +=， 直线L 的方程为4x =。

（1）∵∠PAB=30°，∴点P 的坐标为(1,3)，∴3:(2)3AP l y x =+，:3(2)BP l y x =--。

将x=4代入，得(4,23),(4,23)M N -。

∴MN 的中点坐标为（4，0），MN=43。

∴以MN 为直径的圆的方程为22(4)12x y -+=。

同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12x y -+=。

（2）设点P 的坐标为00(,)x y ，∴22004x y +=（00y ≠），∴22004y x =-。

∵0000:(2),:(2)22PA PB y y l y x l y x x x =+=-+-，将x=4代入，得0062M y y x =+，0022N y y x =-。

∴000062(4,),(4,)22y y M N x x +-，MN=000000446222x y y x x y --=+-。

MN 的中点坐标为004(1)(4,)x y --。

以MN 为直径的圆/O 截x 轴的线段长度为222000224(4)16(1)42123x x x y y y ---=-20004343443x y y y =-==为定值。

∴⊙/O 必过⊙O 内定点(423,0)-。

PB A NMyxO19.解：根据题设可求得2=-b a ，命题p 等价于： 2)1(2≥-t 12+≥∴t 或21-≤t ；命题q 等价于：22434112)1(222222+-=-++-=+-=x x xx x y x AM)22(≤≤-x9322≤≤∴AM336≤≤∴t ，①p 真q 假2112312633t t t t t t ⎧≥+≤-⎪∴>≤-⎨><⎪⎩或或或12126126333t p q t t ⎧-<<+⎪∴≤<+⎨≤≤⎪⎩假真综上所述满足条件的m 范围为3t ＞或2136+<≤t 或21-≤t 。

20. 解析：（1）由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩，． 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154xy+=．（2）（i ）假设A B 所在的直线斜率存在且不为零，设A B 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545A Akk OA x y kkk+=+=+=+++．设()M x y ，，由题意知(0)M O O A λλ=≠，所以222M O OAλ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+，因为l 是A B 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y=-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++ ，又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x yλ+=．又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45xyλλ+=≠．（ii ）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k=+，2222045Aky k=+，由221541x yy x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+，所以 2222220(1)45A Ak OAx y k+=+=+222280(1)445k AB OAk +==+，22220(1)54k OM k+=+． 由于22214A M BS A B O M=△2222180(1)20(1)44554k k kk++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时A M B △面积的最小值是409A MB S =△． 当k =，1402522529A MB S =⨯⨯=>△．当k 不存在时，140542529A M B S =⨯⨯=>△．综上所述，A M B △的面积的最小值为409．解法二： 因为222222111120(1)20(1)4554k k O AO Mk k+=+++++2224554920(1)20k kk +++==+，又22112O A O MO AO M+≥，409O A O M ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时A M B △面积的最小值是409A MB S =△．当0k =，1402522529A MB S =⨯⨯=>△．当k不存在时，140542529A M BS=⨯⨯=>△．综上所述，A M B△的面积的最小值为409．。