第五节 合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发展中的作用； 2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理； 3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异。 2016，全国卷Ⅱ，15,5分(演绎推理) 2016，北京卷，8,5分(演绎推理) 2016，山东卷，5分(归纳推理) 2014，全国卷Ⅰ，14,5分(演绎推理) 1.归纳、类比推理多出现在填空题中，为中、低档题； 2.演绎推理多出现在解答题中，与其他相关知识的考查融合为一体，在知识的交汇点处命题。

微知识 小题练 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。 ②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。

②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。 3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。

小|题|快|练 一 、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )

A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。 【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。

【解析】 根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。

【答案】 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27 【解析】 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9。 则x－20＝12，因此x＝32。故选B。 【答案】 B 2．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2。

其中结论正确的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 只有③正确。 【答案】 B 3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)。故选D。

【答案】 D 4．观察下列不等式 1＋ < ， 1＋ ＋ < ， 1＋ ＋ ＋ < …… 按此规律，第五个不等式为__________。 【解析】 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋

＋ ＋ ＋ ＋…＋ < (n∈N*，n≥2)， 所以第五个不等式为1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ < 。 【答案】 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ <

5．(2016·辽阳模拟)在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为

＝ 。把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)，DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是________。 【解析】 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 ＝ 。 【答案】 ＝

微考点 大课堂 考点一 归纳推理 【典例1】 (2016·山东高考)观察下列等式： －2＋ －2＝ ×1×2； －2＋ －2＋ －2＋ －2＝ ×2×3；

－2＋ －2＋ －2＋…＋ －2＝ ×3×4；

－2＋ －2＋ －2＋…＋ －2＝ ×4×5； …… 照此规律，

－2＋ －2＋ －2＋…＋ －2＝________。 【解析】 通过观察所给的四个等式右边的式子特点，可以发现其规律，最前面的数字是

，接下来是和行数有关的两项的乘积，即n(n＋1)， 所以 －2＋ －2＋ －2＋…＋ －2＝ n(n＋1)。 【答案】 n(n＋1) 反思归纳 归纳推理一般分为以下三种类型： 1．与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律。 2．与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律。

3．与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论。 【变式训练】 (1)(2016·达州模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第30行从左到右第3个数是________。 (2)(2016·湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管。

【解析】 (1)观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝

－1＝929。又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051。

(2)由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管。

【答案】 (1)1 051 (2)83 考点二 类比推理…………母题发散 【典例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。

【解析】 如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°。 设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。 类似地，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，∠EDF和∠PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S。于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2＝S

＋S ＋S 成立。 【答案】 见解析 【母题变式】 1.把本典例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想。

【解析】 如图，在Rt△ABC中，

cos2A＋cos2B＝ 2＋ 2＝ ＝1。 于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。

【答案】 见解析