2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1
第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1 n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6
顶点数（V）
8
棱数（E）
12
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4
顶点数（V）
8 4
棱数（E）
12 6
三棱柱
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 四棱锥
பைடு நூலகம்三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 16 四棱锥
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8
顶点数（V）
8 4 6
棱数（E）
12 6 12
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5
顶点数（V）
8 4 6 6
棱数（E）
12 6 12 9
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是_______. 2n 1
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
2.找一个你感兴趣的数学定义、公 式或定理，探究它的来源，你也可 以通过翻阅书籍、上网查找资料来 寻求依据.
再 见
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
1 an 请归纳出这个数列的通项公式为________. n
2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然 后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, „„ 1000＝29+971， 1002=139+863, „„
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a 2 b 2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
2
1
3
1.课本习题2.1A组1，3，5；
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
9
9
尖顶塔
凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
合情推理 推理
演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.