x解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。

在带电圆环上取 dq1dl , dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为dEdq4(x R )根据电荷分布的对称性知，E y E z 0dE x dE cos1 xdq4(x 2 R 2)'2第6章 真空中的静电场 习题及答案1.电荷为 q 和 2q 的两个点电荷分别置于 x 1m 和x 1m 处。

一试验电荷置于 x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 0位于点电荷 q 的右侧，它受到的合力才可能为0,所以2qq o qq o2 24 n o (x 1)4 n o (x 1)故 x 3 2 22.电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。

试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）?（2这种平衡与三角形的边长有无关系 ？解：（1）以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知， q 为负电荷，所以（2）与三角形边长无关。

3.如图所示，半径为 R 、电荷线密度为 1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为I 、电荷线密度为 2的均匀带电直线段， 该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的电场力。

2% cos30 a1 qqa)24nE xsin d4n 0R 2n 0R式中：为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

---------------------------------- 3dq4 o (x 2 R 2) 2x 1 2 R 1R x40 (x 2 R 2)'2 2 0(x 2 R 2)'2下面求直线段受到的电场力。

在直线段上取 dq2dx , dq受到的电场力大小为dF E x dq1 2只 ------- x ———dx2 0(x 2 R 2)，2方向沿x 轴正方向。

直线段受到的电场力大小为FdF1 2 R1R 2)严2 0 2(x1 2R1 12 0R2 2l 2 R 21/2方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。

求:(1) 圆心处0点的场强； (2)将此带电解：(1)在半圆环上取dq dlRd ，它在0点产生场强大小为dEdq4 n 0 R 2,方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知，E y 0dE x dEsinsin d4 n 0R故 E E x，方向沿x 轴正向。

2 n 0 R(2)当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度 为零。

5•如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量为 q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的P 点的电场强度。

解：建立图示坐标系。

在均匀带电细直杆上取dq dx qdx , dq 在P 点产生的场强大小为故 P 点场强大小为dxE P dE2d4 o x 2q 4 0 d d L方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。

解：建立图示坐标系。

将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环， 应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为 dl 的细圆环，其带电量 dq dS 2 rdl%，方向沿x 轴负方向。

4 o X2 R 2sin d的场强公式)dExdq ，方向沿 x 轴负方向4 0(x 2 r 2)%利用几何关系，x Rcos , rRsin 统住一积分变量，得dExdq 4 o (x 2 r 2)'2 1 Rcos4 0R 32 R 2 sin ddq 在O 点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆环轴线上因为所有的细圆环在在 O 点产生的场强方向均沿为 x 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为/2E dEsin cos d242 0 4 0方向沿x 轴负方向。

中部有一半径为 R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 如图所示。

试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强。

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为场强叠加原理知， P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的 矢量和。

“无限大”带电平面在 P 点产生的场强大小为(TE i，方向沿X 轴正方向2 0的圆盘在P 点产生的场强大小为(参见教材中均匀带电圆 盘轴线上的场强公式)XE 2(1 --------------- )，方向沿x 轴负方向2 0R 2 x 2故P 点的场强大小为方向沿x 轴正方向。

8. (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个 面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体-sinocos d7. 一“无限大”平面, 一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为R 的带电圆盘，由E E iE 2x 2 0 . R 2x 2半径为R 、电荷面密度各面的电场强度通量是多少在顶点，则 e 0。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1和2，试求空间各处场强。

解：如图所示，电荷面密度为 1的平面产生的场强大小为电荷面密度为 2的平面产生的场强大小为E-，方向垂直于该平面指向外侧2 0由场强叠加原理得 、 1两面之间，E E 1 E 2（1 2），方向垂直于平面向右2 010.如图所示，一球壳体的内外半径分别为 R 1和R 2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷 体密度为（0 ）。

试求各区域的电场强度分布。

q解：（1）由高斯定理 E dS 求解。

s上电通量相等，所以通过各面电通量为qe6 o（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长心，则通过边长 2a 的正方形各面的电通量立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面2a 的立方体，使 q 处于边长2a 的立方体中qe6 0对于边长a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则24 o，如果它包含E -，方向垂直于该平面指向外侧2 01面左侧，E E 1 E 2 丄（12 02），方向垂直于平面向左2面右侧，E E 1 E 2 丄（12 02），方向垂直于平面向右解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由高斯定理11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R 1和R 2（ R 2 R 1），若大球面的面 电荷密度为 ，且大球面外的电场强度为零。

求： （1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。

解：（1 ）电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由高斯定理q i 得1—qi(甩)2rS EdSq i 得4 r 21 —qiR 1时, q i所以r R 2 时,q i（43R ），所以R 2 时，q i/ 3(r 3 o rR 3)2(4 (R 23 R 233R ），所以R i 3)o S EdSE 4 r 22当 r R 2 时，E 0， q i 4 R 224 R 1 0，所以(2 )当 r R 1 时,q i 0，所以 E 0当 R r R 2 时，q i2 24 R 14 R 2，所以负号表示场强方向沿径向指向球心。

12. 一厚度为d 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为 的场强。

解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底 1底面圆的面积为S 。

由咼斯定理•:S E dS — q i 得R 2 2 o r心0点的电势。

，求板内外面圆到平板中心的距离均为S E dSE S 0 丄 q ipl当X -时（平板内部）q i2x S ，所以pl当x -（平板外部），q iS ，所以13.半径为R 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为，求其场强分布。

解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 I ，底面圆半径为r ，应用高斯定理求解。

S EdS E 2 nl— 0q i⑴当r R 时,q ir 2I ，所以⑵当r R 时,q iR 2I ，所以14一半径为R 的均匀带电圆盘, 电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中解：取半径为r 、dr 的细圆环dq dS 2 rdr ，则dq 在0点产生的电势为1理 S E dSq i 得解：电场分布具有轴对称性，以 0为球心、作半径为r 的同心球面为高斯面。

由高斯定dVdqdr4 o r2 o圆盘中心O 点的电势为dV15.真空中两个半径都为 R 的共轴圆环，相距为I 。

两圆环均匀带电，电荷线密度分别 是 和。

取两环的轴线为 x 轴，坐标原点 0离两环中心的距离均为 -，如图所示。

2求x 轴上任一点的电势。

设无穷远处为电势零点。

解：在右边带电圆环上取 dq ，它在x 轴上任一点P 产生的的电势为dv —dq ____________________________4 o.(x I/2)2 R 2右边带电圆环在P 产生的的电势为dV ------------------------------- dq4 °、(x I/2)2 R 2_______ R ______ i 12 22 o ,(x I/2)2 R 2同理，左边带电圆环在 P 产生的电势为R2 ° (x I/2)2 R 2由电势叠加原理知，P 的电势为V V V戶,(x I/；2 R 2,(x I/：)2 R 2)16.真空中一半径为R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷，该区域内a点离球心的距离为 -R ， b 点离球心的距离为3:R 。

求a 、b 两点间的电势差U ab3a 、b 两点间的电势差为17•细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为 a 和3a , 两圆柱面间为真空。

电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U 。

求:（1） 内圆柱面上单位长度所带的电量 ； （2） 在离轴线距离r 2a 处的电场强度大小。

解：（1 ）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 I ，底面圆半径为r ，应用高斯定理求解。

在离轴线距离r 2a 处的电场强度大小为2a I n3当 r R 时，E 4 r 2—o4 3r ，所以3U ab a E dr2R/3R/3R 2 18S E dSE 2 n l1 —qi内、外两圆柱面之间，q j所以E2 o r内、外两圆柱面之间的电势差为3a E dra3a—dr o rIn 32 o内圆柱面上单位长度所带的电量为2 o U In 3（2）将 代人场强大小的表达式得,rl n318.如图所示，在 A , B 两点处放有电量分别为 +q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R , q o 从0点经过半圆弧移到 C 点，求移动过程中电场力作的功。