解直角三角形题型归纳梳理
专题一、 求直角三角形锐角三角函数的方法
题型一 直接运用定义求锐角三角函数值
【典例1】（2019•金堂校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝1，BC ＝2，则sin ∠A ＝
2√5
5
．
【解析】解：∵∠C ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，
∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB =√5；∴sin ∠A =BC
AB =
2√5=2√5
5，故答案为2√55
． 【典例2】（2019•镇海区一模）如图，直线y =3
4x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ）
A ．4
5
B ．3
5
C ．4
3
D ．5
4
【解析】解：当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4，
∴直线y =3
4x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标（﹣4，0）、B （0，3），∴OA ＝4，OB ＝3， 由勾股定理得，AB ＝5，则cos ∠BAO =OA
AB =4
5，故选：A ．
【典例3】（2019•咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60
x 图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为
512
．
【解析】解：∵P （12，a ）在反比例函数y =
60x 图象上，∴a =6012
=5， ∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH ＝5，OH ＝12，∴tan ∠POH =5
12，故答案为：
5
12
．
【典例4】（2019•成都）如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．
【解析】解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝2x ，CD ＝4x ，∴EC =√(3x)2+(4x)2=5x ， EM =√x 2+(2x)2=√5x ，CM =√(2x)2+(4x)2=2√5x ， ∴EM 2+CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，∴sin ∠ECM =
EM CE =√5
5
． 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值
【典例5】（2019•雁塔区校级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3， AC ＝4，则cos ∠DCB 的值为（ ）
A ．3
5
B ．4
5
C ．3
4
D ．4
3
【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠B ＝90°，
而∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，而cos A=AC
AB
=45，∴cos∠DCB=45．故选：B．
【典例6】（2019•兰州模拟）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经过CD上点E反射后照到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝4，CD＝11，则tanα的值为（）
A．3
11B．
7
11
C．
11
3
D．
11
7
【解析】解：设CE的长为x，如图，由入射角等于反射角，得∠β＝∠α，由余角的性质，得∠1＝∠2．由AC⊥CD，BD⊥CD，得
∠ACE＝∠BDE，△ACE∽△BDE，AC
BD =
CE
DE
，即
3
x
=
4
11−x
，解得x=
33
7
由题意，得∠A＝∠α．tanα＝tan∠A=CE
AC
=
33
7
3
=117，故选：D．
【典例7】（2019•太仓市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC=1
2∠BAC，则sin∠
BPC＝4
5
．
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，∴BE=1
2BC=1
2
×8＝4，∠BAE=12∠BAC，
∵∠BPC=1
2∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt △BAE 中，∴sin ∠BPC ＝sin ∠BAE =BE AB =4
5．故答案为：4
5
．
【典例8】（2019•望江校级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是直角边AC 上一点，MN ⊥AB 于点N ，AN ＝3，AM ＝4，求cos B 的值．
【解析】解：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ，∴∠C ＝∠ANM ＝90°，
又∵∠A ＝∠A ，∴△AMN ∽△ABC ，∴
AC
AB
=AN AM
=34
，
设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC =√AB 2−AC 2=√7x ，在Rt △ABC 中，cos B =BC
AB =√7x
4x =√7
4．
题型三 设参数求锐角三角函数值
【典例9】（2019•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cos A =35
，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是（ ）
A ．4
3
B ．3
4
C ．2
D ．1
2
【点拨】在直角三角形ADE 中，cos A =3
5，求得AD ，AE ．再求得DE ，即可得到tan ∠DBE =DE
BE ． 【解析】解：设菱形ABCD 边长为x ，。