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第 5章
空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的投影及分解 3.2 力对轴之矩 5.3 空间任意力系的简化与平衡 5.4 空间力系问题的平面解法 5.5 重心
思考题与习题
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第5章
空间力系与重心
空间力系： 作用线不在同一平面内的力系 空间汇交力系 空间力系
按作用线的相对位置
空间力偶系 空间平行力系 空间任意力系
3.58 0.1 7.16 0.2 FNBx 0.3 0 FNBx 3.58kN
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx
3.58 7.16 3.58 0
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5.5 重心
重心在工程实际中具有重要的意义
γ φ
（5.2）
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx F cos Fy F cos Fz F
（5.3）
5
例5-1 长方体上作用有三个力,F1=5O0N, F2=1000N,F3=1500N,方向与尺寸如图5-4所示 ,求各力在三坐标轴上的投影。 解:由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知, 可应用直接投影法,力,F3在Oxy平面上的投 影与坐标轴x的夹角 及仰角 ，已知, 可用二次技影法. F1x=500cos90o=0 F1y=500cos90o=0 F1z=500cos180o=-500N F2x=-1000sin60o=-866N F2y=1000cos60o=500N
M x ( Fn ) M x ( Ft )
计算方法与力对点之矩相同
(5.4)
Fa
单位为N．m
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正负号: 从转轴的正向观察，若力使物体作逆时针向旋转，力矩 取正号；反之，则取负号 5.2.2 合力矩定理
合力矩定理是一个普遍定理，有合力的复杂力系，合力矩 定理仍然成立 合力矩定理
合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
Vi Ai h
z
O yC yi C
薄板平面内取直角坐标系oxy 重心是平面图形形心C
zC 0
xc yC
xC xi
y
x
Ai
A . x
i
i
A
A . y
i
i
(5.13)
A
注意： 有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，其重心 必在其物体的对称面、对称轴或对称中心上
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简单形状物体的重心 图形 重心（形心）
3.58100 7.16 200 FNBx 300 0 FNBx 3.58 kN F x 0, FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0 FNAx 3.58 7.16 3.58 0
FNAx 0
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M F 0
x
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
解：(1) 以轴AB连同轮C、D为研究对象，画受力图 ，建立坐标系 (2) 将所有外力投影在xAz平面内，组 成平面任意力系，列平衡方程: z Ft1 Ft2 Fr1 Fr2 FNAx FNBx FNAz x
M F 0,
A
Ft1 rC Ft 2 rD 0
Ft 2 Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05
M x (F ) M x (Fz ) M x Fy
F (l a) cos
Fy 0
M x (Fz ) FZ ( AB CD)
M y (F ) M y (Fz ) M y Fx M y (Fz ) FZ BC
Fl cos
M Z (F ) M Z (Fx ) M Z Fy
FNBz
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3）将所有外力投影在yAz平面内
z FNAz A
Fr1 C
Fr2 D
M
FNBz B
y
A
(F ) 0
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
Fr1 0.1 Fr 2 0.2 FNBz 0.3 0 FNBz 2.17 kN




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3 zC r 8
30
抛物线
xC

a
0
x kx2 dx
a 0 a

kx2 dx x dx x 2 dxa 3
0 a
y kx
2
M Z (Fx ) Fx ( AB CD)
F (l a) sin

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5.3 空间任意力系的简化与平衡
5.3.1空间任意力系的简化
空间任意力系向任意一点简化得到一个空间主矢和一个空间 主矩
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/ FR Fi ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
z
A
Fr1
Ft1 Fr2
Ft2
M F 0,
y
Ft1 rC Ft 2 rD 0
B
得： Ft 2
Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05 Mz F 0
y
x
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
在平面内的投影组成的平面任意力系平衡 空间问题的平面解法 空间问题的平面解法：
工程计算中常将一些空间任意力系的平衡问题 (如轮轴类零件): 按主视、俯视、侧视三个平面来投影，列出各平面内的平衡 方程，求解未知量。 这种方法称为空间问题的平面解法
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例5-3 在图5—10a所示的传动轴上， 已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m ，rD＝0.05m。其上受力有圆周力 Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN， Fr2=2.6kN。AC＝CD=DB=0.1m。 求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的 反力。
1.3100 2.6 200 FNBz 300 0 FNBz 2.17 kN
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
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5.4空间力系问题的平面解法 空间任意力系平衡
Ft1 A FNAx C
Ft2 D B y FNBx
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
x
(4) 将所有外力投影在xAy平面内
M
A
(F ) 0
F
x
0
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
yi yC x
xi
xC
y
Gi .xi
xc
G i . x i
G . y
i
G
对x轴取矩: yC
i
G
物体和坐标系Oxyz一起绕x轴顺 时针转90o,对z轴取矩
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i 得： zC G 重心公式：
xc yC
G .zi
z
ΔGi
G . x
i
i
G
i i
C
ΔG ΔG1 2
3.轴销铰链
4.固定端
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例5-3 在图5—10a所示的传动轴上，已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m，rD ＝0.05m。其上受力有圆周力Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN，Fr2=2.6kN。 AC＝CD=DB=0.1m。求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的反力。 解： 以传动轴AB为研究对象，受力 图如图, 列平衡方程并求解:
F3x 1500cos cos 850N
F3 y 1500cos sin 1073 N
F3z 1500sin 671N
F2z=100cos90o=0
F3用二次投影法
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5.2 力对轴之矩
5.2.1力对轴之矩的概念
Fn 刚体绕定轴转动的情况 Fn对x轴的矩 Fr Ft
G . y G G .z
i
zi zC
zC
i
(5.11)
G gV , Gi gVi
yi yC
xi
xC
y
G
均质，密度 重心是体积形心
xc
x
V . x
i
i
V
yC zC
V . y
i
i
V
V .z
i
i
(5.12)
V
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均质等厚的平薄板:面积为A，则薄板的 总体积为V＝Ah, 每一微小体积为
（5.6）
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Mi 0
F 0 F 0 F 0 M F 0 M F 0 M F 0
x y z x y z
（5.7）
5.3.3空间特殊力系的平衡方程 1.空间汇交力系
F F F
x y
0 0 0
（5.8）
13
z
2.空间平行力系 F 0 M F 0 M F 0
力对轴之矩应用合力矩定理
M z F M z Fx M z Fy M z Fz M x F M x Fy M x Fz M y F M y Fx M y Fz Mz F Mz Fx Mz Fy
□汽车的重心偏高会影响汽车的加速性能
重心位置的不当 会影响物体的平 衡和稳定
□飞机的重心超前会增加起飞和着陆的困难
□船舶的重心偏离对称线，船身要发生倾斜等 □转动构件的重心不在回转轴线上会引起振动