2r 2
6Fh 4
2Fr 4
2r
2
y
O
2r
45 Fx
2
° Fy
xz平面
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
x
xy平面
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
1.一次投影法
Fx F cos Fy F cos
Fx F cos30sin 45
6F 4
h
6F
Fy F cos30cos 45
Fz
F sin 30
F 2
4
2.求F对x.y.z轴之矩
z F
45 °
Fz
Fx
Fy
30
°
O
y
x
M x (F ) Fy h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
Fz F cos
Fx F sin cos
2.二次投影法 Fy F sin sin
Fz F cos
二、力对轴之矩
M z (F) MO (Fxy ) Fxy d
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与
平面交点之矩。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
yi
四、求重心的方法
1.对称法 对于均质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对 称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。
2.实验法
悬挂法
称重法
3.分割法
积分法（无限分割法）
n
lim n
ΔAi xi
i1
x dA
A
n
lim n
ΔAi yi
i1
y dA
A
xC
ΔAi xi A
一、物体重心的概念
将物体分割为每个微重力△Gi，构成一个平行力系。此平行力
系的中心（即合力的作用点）即是物体的重心。 z
二、重心的坐标公式 1.重心坐标 由合力矩定理知： G xC ΔGi xi G yC ΔGi yi G z C ΔGi zi
C Gi
G1 G
xC
ΔGi G
xi
yy1c x1 xc
FAz 1.57 12 1 (5.66 2 2) 6.09 kN
M z (F ) 0 : FBx 2l F l Far (FT cos 45 Ft cos30) 2.5l 0
FBx
0.6 0.1 (5.66 3.46)1 2 0.4
12.03kN
Fx 0 :
FAx FBx Fr FT cos 45 Ft cos 30 0 FAx 12.03 1.5 5.66 3.46 1.41kN
2
1000 2
0.06
42.4N
m
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2
1000 2
0.05
35.4N
m
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
6
1000 4
0.06
2
1000 4
0.05
0
19.1N m
A x dA A
组合法（有限分割法）
yC
ΔAi yi A
A y dA A
对于由简单形体(对称图形)构成的组合体，可将其分割成若干个
简单形状的物体，当各简单形体重心位置可知时，可利用公式求出
物体的重心位置。
圆
矩形
C
C
几种简单形体的重心（形心）坐标见表4-1
例4-5（加法）有一T字型截面如图所示，试求此截面的形心坐标。
yy
100
A1 解：1.将T型截面分割成两块矩形A1、A2 。
C1 C A2
20
2.建立图示的黑色坐标系，两矩形截面
的形心坐标分别为C1(50,110),C2(50,50）。
C2 x
100
xC
ΔAi xi A
A1xC1 A2 xC 2 A1 A2
O
x
100
20 100
2
1000 2
0.05
35.4N
m
C Fy
50
3.在xy平面取平面投影
y
M z (F) MO (Fxy )
6
1000 4
0.06
2
1000 4
0.05
O 40 x
20
19.1N m
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为30半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。
解：1.将F沿坐标轴方向分解
FBZy
xy平面：
FAz
FAz
Fr
Fr b ab
F y
M z (F ) 0 : FBx (a b) F a 0
FBx
F a ab
O
FAx
FBx
x
Fx 0 :
FAx FBx F 0
FAx
FBx
F
Fb ab
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m，自重Ｇ2＝2kN；齿轮
y xi
yC
ΔGi G
yi
x
yi
zC
ΔGi G
zi
2.质心坐标和形心坐标
重心坐标 质心坐标 体心坐标
xC
ΔGi G
xi
Δmi xi m
ΔVi xi V
对于均质物体，若用ρ表示
其密度，则
yC
ΔGi G
yi
Δmi yi m
ΔVi yi V
ΔGi Δmi g ΔVi g G mg Vg
用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分
别求力F对x、y、z轴之矩。
Fz
FxFxy
解：1.应用二次投影法，求得各分力 的大小为
Fy
6F Fx F cos 45sin 60 4
Fy F cos 45cos 60
2F 4
Fz F sin 45
2F 2
2.由合力矩定理求F对轴之矩
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0
2Fr 4
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
平面解法：
z
z
z
F
Fz Fx
45 °
Fz
Fx
Fz Fy
2r
2
h
Fy
2r 2
30
x
O
°
O
y
O
y
x
解：1.将F沿坐标轴方向分解
Fx
6F 4
Fy
6F 4
Fz
F 2
2.在坐标平面分别取投影
yz平面
M x (F ) Fy h Fz
解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。
2.画传动轴的约束力
3.列平衡方程求解
My(F) 0:
F
D 2
M0
0
M x (F ) 0 : FBz (a b) Fr a 0
Fz 0 :
FAz FBz Fr 0
M z (F ) 0 : FBx (a b) F a 0
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
课后作业：《工程力学练习册》练习十一
◆ 课题4–2 空间力系平衡方程的应用
一、空间力系的简化(力对点之矩为矢量)
简化中心 F1
M1 F'1
M2
OA
F3 C
B
F2 =
O F3
M3
F'2
1.主矢FR FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fz)2
二、空间力系平衡方程 平衡方程
三、空间约束
Fx 0 : Fy 0 :
Fz 0 : Mx(F) 0: My(F) 0: Mz(F) 0:
1.轴承 约束力用上下和前后两正交分力表示 2.空间固定端 约束端有三个约束力和三个约束力偶矩。
课后作业：《工程力学练习册》练习十二
◆ 课题4–3 重心 平面图形的形心
量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，
规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作
M0
0
FAx+FBxO x FAx
yz平面：
F
2M 0 D
Fr
F
tan
2M 0 D
tan
z Fr FAZ
FFn
FBZ
M0 y
A
a
C bFBx B
z
Fr
M x (F ) 0 : FBz (a b) Fr a 0
Fz 0 :
FAz FBz Fr 0
FBz
Fr a ab
FAZ O
三、空间约束 1.轴承 FZ
FX
FZ FY
FX
2.空间固定端
z
MZ FZ
FY
y
MX
MY
x FX
向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。