对外经济贸易大学远程教育学院2006-2007学年第一学期《概率论与数理统计》期末复习大纲（附参考答案）一、复习方法与要求学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成.学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目.如开学给出的学习建议中所讲：作为本科的一门课程，在课件中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.各章内容要求与所占分值如下：第一章介绍的随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系. 约占20分.第二章介绍的一维随机变量的分布. 约占20分.第三章二维随机变量的分布，主要要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律以及随机变量独立的判别. 约占15分.第四章介绍的随机变量的数字特征. 约占20分.第五章的中心极限定理. 约占5分.分布）；第六章介绍的总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与分布（t分布、2正态总体样本函数服从分布定理. 约占7分.第七章的矩估计与一个正态总体期望与方差的区间估计. 约占8分.第八章一个正态总体期望与方差的假设检验. 约占5分.对上述内容之外部分，不作要求.二、期终考试方式与题型本学期期终考试采取开卷形式，即允许带教材与参考资料.题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题约占64分，每小题2分；选择题约占36分，每小题3分.三、 应熟练掌握的主要内容1.了解概率研究的对象——随机现象的特点；了解随机试验的条件.2. 理解概率这一指标的涵义.3. 理解统计推断依据的原理，会用其作出判断.4. 从发生的角度理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.5. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件 掌握事件的常用变形：AB A B A -=- （使成包含关系的差），A B -=AB （独立时计算概率方便）B A A B A +=+（使成为两互斥事件的和）n AB AB AB A +++= 21 （n B B B 、、、其中 21是一个划分）（利用划分将A 转化为若干互斥事件的和）B A AB A +=（B B 与即一个划分）6. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等课件所举类型概率的计算.7. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率.8. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律.9. 掌握（0-1）分布、泊松分布、二项分布的分布律 10. 掌握一个函数可以作为连续型随机变量的概率密度的充分必要条件11. 掌握随机变量的分布函数的定义、性质，一个函数可以作为连续型随机变量的分布函数的条件. 12. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义13. 掌握随机变量X 在区间（a ，b ）内服从均匀分布的定义，会写出X 的概率密度. 14. 掌握正态分布(,)N μσ2概率密度曲线图形；掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表；理解服从正态分布μ(N ),2σ的随机变量X ，其概率{P |X-μ|<σ}与参数μ和σ的关系.15. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律. 16. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度. 17. 有分布律或概率密度会求事件的概率.18. 理解当概率()P A =0时，事件A 不一定是不可能事件；理解当概率()P A =1时，事件A 不一定是必然事件. 19. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义；会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率；有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立.20.掌握期望、方差、协方差、相关系数的定义式与性质，会计算上述数字；了解相关系数的意义，线性不相关与独立的关系.21. 掌握（0-1）分布、泊松分布、二项分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数 与期望、方差的关系.22. 会用中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是：设随机变量X 服从二项分布(,)b n p ，当n 较大时，~(,)X N np npq 近似，其中q p =-123.了解样本与样本值的区别，掌握样本均值与样本方差的定义24. 了解2χ分布、t 分布的背景、概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上α分位点.25. 了解正态总体μ(N ),2σ中，样本容量为n 的样本均值X与22)1(σS n -服从的分布.26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义. 27. 会计算参数的矩估计.28. 会计算正态总体(,)N μσ2参数μ与2σ的区间估计.29. 掌握一个正态总体μ(N ),2σ，当2σ已知或未知时，μ的假设检验，2σ的假设检验.30.了解假设检验的两类错误涵义四、复习题（附参考答案 ）注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点. 期终试卷中70分的题目抽自复习题.（一）判断题（Y —正确，N —错误）第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间（1） 三枚硬币掷一次，观察字面朝上的硬币个数，样本空间为S={}321，，. N 2.一项任务：甲、乙、丙三人分别去干，设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙完成任务. 用A 、B 、C 三个事件的关系式表示下列事件，则（1）（三人中，仅甲完成了任务）=BC A N （2）（三人都没完成任务）=ABC N （3）（至少一人没完成任务）=C B A ++ Y3.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，没A i =（5件中恰有i 件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件（1）0A =（至少有一件次品） Y （2）32A A + =（有3件次品） N 4.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ （1）B A A B A +≠+ N （2）AB A B A -=- Y5.设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ，5.0)(=+B A P 则)(B P =0.3 . Y6.设A 、B 、C 是三事件，且81)(,0)()(,41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P .则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为7/8. N7. 事件设,6.0)(,=⊃A P B A ，则)(B A P =0.4. N8. 设A 、B 是两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ，则当,B A ⊂()P AB 取到最大值0.6. Y 9.若)(,32)(,31)(,21)(B A P A B P B P A P 则==== 1. Y 10.一个教室中有100名学生，则其中至少有一人的生日在元旦的概率（一年以365天计）为1001003653641- . Y 11.将3个球随机地放入4个杯子中，杯子的容量不限，则杯中球最多个数为1的概率为P 3434.12.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则：（1）P （两次都取到红球）=⨯681011 Y （2）P （从乙袋中取到红球）=710N13. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）P （一次正品，一次次品 ）= 2101218C C C Y （2） P （第二次取到次品）=7/9 N 14. 41)(,5.0)(,4.0)(,3.0)(=+===B A B P B A P B P A P 则已知. Y 15.几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标. Y （2）随机现象是没有规律的现象. N（3）随机现象的确定性指的是频率稳定性，也称统计规律性.N（4）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数.Y （5）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生.Y （6）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生.N第二章 随机变量及其分布16. 在6只同类产品中有2只次品，从中每次取一只，共取五次，每次取出产品立即放回，再取 下一只，则（1）取出的5只产品中次品数X 的分布律为{}kkk C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==553231 k=0,1,…5 . Y（2）取出的5只产品中次品数X 的分布律为{}kk k C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==553231 k=1,2 . N17.某人有5发子弹，射一发命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，如果不命中就一直射到子弹用尽。

耗用子弹数X 的分布律为 （1） X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001.050009.0009.009.09.04321Y （2） X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛00009.050009.0009.009.09.04321N18.设随机变量X 的分布律为{}Nak X P == N k ,2,1= 则常数a =1 .19.袋中有标号为1，2，3的三个球，随机从袋中取一个球，设取出球的标号为随机变量X ，则X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3313231213110)(x x x x x F N20. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧=1310）（x F 1100≥<≤<x x x ，则X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛323110 . Y 21.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=0)(Axx f 其它20≤≤x 则常数A =2 . N22.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10≤≤x 则X 的分布函数2)(x x F =. N23.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x 则（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<21X P =81 Y（2） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<21X P =⎰∞=2/1dx x N24.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧=1ln 0)(x x F e x e x x ≥<≤<11，则X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它011)(ex xx f . Y 25.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为2/3. N26. 随机变量)2,3(~2N X 则(1){}52≤<X P =)2/1()1(Φ+Φ N (2) {}104≤<-X P =2)5.3(Φ–1 Y27. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301131511510611512~X ，则Y=2X+1的分布律 Y ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301115151615173113.Y 28.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10<<x ,则X e Y =的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它01ln )(ey y y f Y . N 第三章多维随机变量及其分布29.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F x y (,)，则 （1）{}2,1≤≤Y X P = F （1,2） Y （2）{}1123131213P X Y F F F -<≤<≤=---,(,)(,)(,) N 30. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为（1）Y 的边缘分布律为012020404...⎛⎫⎪⎝⎭N（2）X ，Y 不独立 N（3）（X ，Y ）的分布函数在116(,.)点的值1610(.,)F = N （4）20016{,}.P X Y === Y （5）概率1012{}.P X Y +== N （6）Z X Y =-的分布律为101201203204016....-⎛⎫ ⎪⎝⎭Y（7）072().E XY = Y （8）相关系数0XY ρ≠ N31. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则 （1）{}Y X M ,max =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛167163166210 Y（2）{}Y X N ,min =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--167163166012 Y第四章 随机变量的数字特征32.设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41212116121610311 则（1）)(X E =31 Y（2）)(2X E = 4/55/]21)2/1(0)1[(22222=++++- N （3）X 的方差D （X ）=7297 Y33.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x则（1） )(X E =1 Y （2）)(X E =⎰⎰-+211)2(dx x dx x N（3）)()(22X E X E -=61 Y （4）X 的方差61)(≠X D N34.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%。