概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义:在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ∀≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP（3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。

2．几何概型的定义:若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。

（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。

）==（每点等可能性）则称为几何概型。

的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω=A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称)()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑==ni iiA B P A P B P 1)|()()(。

（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑===∀nk kki i A B P A P A B P A P B A P n i 1)|()()|()()|(,,...,2,1。

5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。

（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。

二、随机变量和分布函数:1．基本概念:（1）随机变量的定义:随机变量X 是定义于样本空间上的单值实函数。

随机变量 = 变量(函数) + 随机(概率)（2）分布函数的定义:设X 是一随机变量，x 是任意实数，称函数)()(x X P x F ≤=为随机变量X 的分布函数。

分布函数的性质：①)(x F 是个单调不减函数。

②1)(0≤≤x F ：1)()()(lim =Ω=+∞≤=+∞→P X P x F x0)()()(lim ==-∞≤=-∞→φP X P x F x③)(x F 是右连续的。

2．离散型随机变量：（1）离散型随机变量的定义：若随机变量 X 的取值为有限个或可数个，则称X 为离散型随机变量。

（2）设n x x x ...,21为离散型随机变量X 的所有可能取值，记...2,1),(===k x X P p k k 称为离散型随机变量X 的分布列（或概率分布）。

（3）几种常见的分布：①（0-1）分布（伯努力分布、两点分布）：随机变量 X 的所有可能取值为0，1。

②二项分布：在n 重伯努利试验中，若设X 为n 次试验中事件A 出现的次数，设)10()(<<=p p A P ，则X 是一个离散型随机变量，其分布律为：)1(,...,1,0,}{p q n k q p C p k X P kn k k n k -=====-我们称这样的随机变量X 服从参数为n,p 的二项分布，记为),(~p n B X 。

③泊松分布：设随机变量X 的所有可能取值为0，1，2...且...1,0,!)(===-k e k k X P kλλ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λP X 。

3．连续型随机变量：（1）连续型随机变量的定义：若X 是随机变量，其分布函数为F(x)，如果存在非负函数)(x p ，使得对于任意实数x ，有⎰∞-=xdt t p x F )()(则称X 是连续型随机变量，而称)(x p 为X 的密度函数。

密度函数具有如下的结论：①⎰+∞∞-=≥1)(;0)(dx x p x p②⎰=<<12)()(21x x dt t p x X x P③分布函数)(x F 与密度函数)(x P 是求导与求积分的关系：)(')(;)()(x F x p dt t p x F x==⎰∞-（2）常用的连续型分布：①均匀分布：若随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(bx a a b x p ，则称X 服从区间[a,b]上的均匀分布，记为],[~b a U X 。

X 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a bx ax a x x F ,1,,0)(②指数分布：若随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它,00,)(x e x p x λλ其中x>0, 则称X 服从参数为λ的指数分布，记为)(~λE X 。

分布函数为⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(x e x F x λ4．正态分布：（1）正态分布的定义R x ex p x ∈∙=--,21)(22)(σμσπ，其中)0(,>σσμ是常数，则称X 服从参数为2,σμ的正态分布(或高斯分布)，记为),(~2σμN X 。

分布函数为：dt t xex F 222)(21)(σμσπ--∞-⎰∙=（2）性质：①p(x)是关于直线x=μ对称的，在x=μ处取得极大值。

②σ决定图形的形状：固定μ；σ的值越大，p(x)的图形就越平坦；σ的值越小，p(x)的图形就越陡峭。

③μ决定图形的位置：固定σ；μ的值增大，p(x)的图形就向右移动；μ的值减小，p(x)的图形就向左移动。

（3）标准正态分布：①当μ=0,，σ=1时。

记为)1,0(~N X ，相应的密度函数以及分布函数分别记为)()(x x φϕ和。

②+∞<<-∞=-x e x x ,21)(22πϕ③+∞<<-∞=⎰∞--x dt ex xt ,21)(22πφ④)(1)(x x φφ-=-⑤定理：设),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-（4）正态分布σ3原则：①6826.01)1(2)|(|=-=<-φσμX P ②9545.01)2(2)2)(|=-=<-φσμX P ③9973.01)3(2)3|(|=-=<-φσμX P 5．随机变量函数的分布:（1）离散型随机变量函数的分布: 设X 的分布列为:Y=g(X)为X 的函数，则Y 的分布列为:（2）连续型随机变量函数的分布:设X 是连续型随机变量,密度函数为)().(X g Y x p x =是X 的连续函数，则Y 也是一个连续型随机变量。

计算它的密度函数的步骤如下： ①先求Y 的取值范围②再利用定义求Y 的分布函数)(y F y ，⎰≤=≤=})(|{)())(()(y x g x xy dx x p y X g P y F③最后再通过求导得出Y 的密度函数)(y p y 。

三、随机变量的数字特征： 1．期望的定义:（1）离散型随机变量的数学期望:设X 为离散型随机变量，其分布律为...2,1,)(===k p x X P k k 若∑∞=∞<1||k k k p X 记∑∞==1)(k k k p x X E 则称)(X E 为随机变量X的数学期望或均值。

（2）几种常见离散型随机变量的数学期望：①（0-1）分布：设随机变量X 服从10,1,10~<<=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p q p p qX ，则p X E =)( ②二项分布：设随机变量X服从二项分布),(~p n B X ，n k qp C k X P kn kk n...1,0,)(===-，则np q p C k X E nk kn k k n =∙=∑=-0)(。

③泊松分布：设随机变量X 服从泊松分布)(~λP X ，...2,1,0,!)(===-k e k k X P kλλ则λλλ=∙=-∞=∑e k k X E k k!)(（3）连续型随机变量的数学期望：设X 为具有密度函数p(x)的连续型随机变量，若⎰∞∞-∞<dx x p x )(||（存在），记⎰∞∞-=dx x xp X E )()(则称)(X E 为随机变量X 的数学期望（4）几种常见连续型随机变量的数学期望:①均匀分布:设随机变量X 服从均匀分布],[~b a U X ,由定义可知2/)()(b a X E += ②正态分布:设随机变量),(~2σμN X ,由定义可知μσπσμ=∙=--∞+∞-⎰222)(21)(x exX E 。

③指数分布：设随机变量)(~λE X ，由定义可知⎰+∞-==01)(λλλdx e x X E x 。

2．期望的性质与计算：（1）随机变量函数的数学期望：①定理1：设X 为连续型随机变量，密度函数为)(x p ,对随机变量X 的函数)(x g Y =，则⎰∞∞-==dx x p x g X Eg Y E )()()()(。

②定理2：设(X, Y)为连续型随机向量,密度函数为),(y x p 。

对随机向量),(y x 的函数),(y x g Z =，则有⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x p y x g Y X Eg Z E ),(),(),()(。

③定理的用处：避免了先求随机变量函数的分布，再利用期望的定义求随机变量函数的期望。

（2）期望的性质：①C C EC ,=为常数。

②设k 为常数，则)()(X kE kX E =③若)(X E 、)(Y E 存在 ,则)()()(Y E X E Y X E +=+④若X 、Y 相互独立且)(X E 、)(Y E 存在 ，则)()()(Y E X E XY E =3．方差的定义与性质：（1）方差的定义：设X 是随机变量，若E[X-E(X)]2存在，则称它为随机变量X 的方差，记为D(X )或Var(X)。

方差D(X )的平方根称为标准差或均方差。

（方差是刻画随机变量取值离散程度的一个指标）（2）方差的计算：①方差的一般计算公式：22)()()(EX X E X D -= ②离散型随机变量：∑∞=-=-=122)()()(k k kp EX xEX X E X D 。

③具有密度函数p(x)的连续型随机变量：⎰∞∞--=-=dx x p EX x EX X E X D )()()()(22。

④正态分布的方差：⎰+∞∞-=-=22)()()(σdx x p EX x X D 。

（3）方差的性质： ①C C D ,0)(=为常数。

②设k 为常数，则)()(2X D k kX D =。