条件概率P(A|B)也是概率，具有概率所具 有的一切性质。
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8. 完备事件组 事件组A1，A2， · ，An (n可为)，称为样 · · 本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：
(1) Ai ;
(P.1) P(A)0; (non-negative非负性) (P.2) P( )＝1;(normed规范性) (P.3) 若 Ai Aj＝, i j , 则
P ( Ai ) P ( Ai ) (-additivity可加性)
i 1 i 1


即: 概率是一个规范的、可数可加的测度。 或概率是一个定义在-代数 F上的非负的、可数 可加的、规范的实值集函数。
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6. 概率的性质 (1) P()＝0； (2) 有限可加性： 设A1，A2， · An , 是n个两两互不相容的事件， · · 即Ai Aj＝ ，(ij ), i , j＝1, 2, ·, n ,则有 · · P( A1 A2 · An)＝P(A1)＋P(A2)＋·＋P(An ); · · · · (3) 单调不减性： 若事件B A， 则P(B)≥P(A) , 且 P(B－A)＝P(B)－P(A)；
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例 设有来自三个专业的各10名、15名和25名 学生填报学习《工程随机过程》的申请表，其 中女生的申请表分别为3份、7份和5份。现随 机地取一个专业的申请表，从中先后抽出两份。 （1）求先抽到的一份是女生申请表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生申请表，求先 抽到的一份是女生申请表的概率。
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4. 事件域(域、代数) 记为一个集合，F为={}的一些子集构 成的集合，若F满足 （F.1） F; （F.2）若AF, 则 AF; （F.3）若可列个AmF, m=1,2,, 则 则称F是中的一个代数或域。
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1

P ( Ai ) P ( Ai ) （Bool不等式）
i 1 i 1
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1 i j k n n n
i 1 i 1 n n
P ( Aj | B)
P ( Aj ) P ( B | Aj ) P ( B)

P ( Aj ) P ( B | Aj )
贝叶斯公式或逆概率公式
P( A )P( B | A )
i 1 i i
n
,
( j 1,...,n)
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3. 随机事件(事件) 试验E的样本空间的子集称为E的随机事件， 简称事件，记为A、B等。 即试验E的部分试验结果组成的集合为随机事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点构成的单点集。 必然事件： 在每次试验中总是发生的事件。 比如样本空间。 不可能事件： 在每次试验中都不发生的事件。 比如空集。
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随机变量及其分布
1. 随机变量的概念 设随机试验 E 的样本空间是 ，若对每个 ，有定义在 上的一个实数 X( ) 与之对 应，称这样一个定义在 上的单值实函数 X ＝ X( )为随机变量(Random Variable)，简记为 r.v. X。随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等表 示 ，也可用希腊字母、、等表示。
第一章
预备知识
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概率空间 1. 随机试验(试验)
(1)可在相同条件下重复进行; (2)试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果; (3)一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 具有上述三个特点的试验称为随机试验，记为E。
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10. 全概率公式与Bayes公式 设A1, ·, An是的一个划分，且 P(Ai )> 0， · · (i＝1，·，n)，则对任何事件B，有 · ·
P ( B )＝ P ( BAi ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) 全概率公式
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劝学格言
养不教，父之过；教不严，师之惰。 子不学，非所宜；幼不学，老何为。 玉不啄，不成器；人不学，不知义。 …… 蚕吐丝，蜂酿蜜；人不学，不如物。
——《三字经》
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m 1
A

m
F;
若是样本空间时，则称F为中的一个事件域。
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事件域的性质：
（1）F； （2）若可列个AmF, m=1,2,, 则 （3）若AmF, m=1,2,,n, 则
5. 概率的定义 (, F ) 是个可测空间，在F上定义了一个实 值集函数 () ，满足A, A1, ·, An, · F有 · · · · (1) (A)0; (非负性) (2) 若 Ai Aj＝, i j , 则
( Ai ) ( Ai ) (-可加性或可列可加性)
r .v . X : R
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2. 分布函数的概念 设X随机变量, 对任意实数x, 事件{X x}的概 率P {X x}称为随机变量X的分布函数。记为 F(x), 即 F(x)＝P {X x}。 F：R[0, 1] (1) 单调不减性： 若x1< x2, 则F(x1) F(x2); (2) 非负规范性： 对任意实数 x，0 F(x) 1，且
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青青园中葵，朝露待日晞， 阳春布德泽，万物生光辉， 常恐秋节至，焜黄华叶衰。 百川东到海，何时复西归？ 少壮不努力，老大徒伤悲！
——《汉乐府· 长歌行》(节选)
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工程随机过程
Stochastic Processes in Engineering
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课程约定
考试方式：闭卷或半开卷考试 计分方式： 平时成绩占30%(包括平时作业, 各章小结, 课堂出勤及课堂学习等情况) 期末考试成绩占70% 作业不得用纸片信纸之类，必须使用作业本 (两本交替使用), 作业每两周集中交一次
i 1 i 1


称 ()为可列可加测度。 -代数 F上的可数可加测度 P 若满足 P()=1 , 则称 P 为概率测度或概率。
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( , F ) 是个可测空间，概率是定义在F上的 一个实值集函数 P()，若满足A, A1,·, An, ·F · · · ·
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11. 事件的独立性 A与B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B) 以下命题等价： － 1. A、B相互独立；2. A、B相互独立； － － － 3. A、B相互独立；4. A、B相互独立。 设A1, A2, ·, An是n个事件, 如果对任意k (1 k · · n), 任意的1i1i2·ikn, 具有等式 · · P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称n个事件A1，A2，·，An相互独立。 · · 若将其中任意m(1mn)个事件相应地换成它们 的对立事件，所得的n个事件仍然相互独立。
2. 样本空间
随机试验E的所有可能试验结果组成的集合 称为样本空间，记为。 样本点： 组成样本空间的元素，即随机试验E 的每个可能结果，记为。 样本点又叫基本事件， 所以={}。
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P ( Ai A j Ak ) ( 1)n1 P ( Ai )
i 1
1 i j n
P ( Ai A j )
n
7. 条件概率 若( , F, P )为概率空间，B F，且 P(B)> 0，则对任意的 A F，称
P ( AB ) P( A | B) P( B) 为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的 条件概率。
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一个三元有序组 (, F, P ) ，其中 (1) 为 的点集; (2) F为 的子集构成的 -代数的集类; (3) P 为定义在 F上的概率,