• 定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许 对 1 1 1 1
x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , ) x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , )
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
2 所构成的输入---状态--和任何实数1 和 输出对.
0, 0 0[t0 , ), 0[t0 , )
• 从而,如果系统是线性系统的话,则必有
当
x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0
时
系统响应亦为零—这也是线性系统的一 个必要条件.
(2) 式(1)中, 若 1 2 1 称式(1)的关
系为可加性。 若 2 0 则称式(1)的关系为齐次性。
(3) 式(1)中,若设 1 2 1 ,及假定
x1 (t0 ) x(t0 ), u1 (0), x 2 (t0 ) 0, u 2 [t0 , ) u[t0 , )
则 x(t0 ) 0, 0 u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , ) 或 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , )
k k A t 1 22 At At e 或e I At A t 2! k 0 k !
1 k k At k!
并对于有限时间是绝对收敛的.
பைடு நூலகம்
• 结论：[零输入响应]线性定常连续系统的零
输入响应,即系统齐次方程的解,并具有如下
形式:
xou t e x 0
为初始状态的自由运动即零输入响应.
(2).零输入响应的形态.
• 对线性定常连续系统,零输入响应即自由运 动轨迹的形态,当且仅当由系统的矩阵指数函 数 e At 唯一地决定.不同的系统矩阵A,导致不 同形态的零输入响应,即自由运动轨道. 表明 e At 即A系统矩阵,包含了零输入响应即 自由运动形态的全部信息.
也是容许的,则称该系统是线性的,否则
该系统是非线性的.简而言之,满足迭加
原理的系统为线性系统.
2.对定义的讨论 (1)若设 1 2 1 并有
x (t0 ) x (t0 ), u [t0 , ) u [t0 , )
1 2 1 2
• 则如果是线性系统的话,按定义, • 则 x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0 .
At
性质：
(1).e A0 I , t 0 (2).e e e e e At 1 At (3).(e ) e (4).若A,F R nn , 且AF FA, 则e( A F )t e At e Ft e Ft e At 若AF FA, 则e( A F )t e At e Ft
现代控制理论
第二章 线性定常连续系 统状态方程的解
线性定常连续系统状态方程的解
• 准备知识A1 • 准备知识A2 • 一.线性定常连续系统齐次方程的解 (零输入响应) • 二.状态转移矩阵 • 三.线性定常系统非齐次方程的解
• 准备知识A1
1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性 质. • 用符号 u[t0 , ), x(t0 ) x[t0 , ), y[t0 , ) • 表示状态 x(t0 ) 和输入 u[t0 , ) 激励出输出 y (t ) 和状态 x(t )，t t0 ,并称其为输入-状态-输出对.
At
t0
• 推论: (1).零输入响应的运动特性. • 对于线性定常连续系统,其零输入响应 是由其齐次方程解的属性决定的，状态
空间中x(t)随时间演化轨道(几何表征)，
属于由偏离系统平衡状态的初始状态 x0
引起的自由运动.
•一个典型的例子是:人造卫星在末级火箭 脱落后的运行轨道,以脱落时刻的运行状态
x(t ) e
A ( t t0 )
x (t0 )
t t0
(6).零输入响应的几何表征.
• 对线性定常连续系统,齐次方程解的表达 式表明:在时刻 ti 状态点 x(ti ) ,几何上对应 于状态空间中由初始状态点 x0 ,经线性变换
e x0 导出一个变换点.基于此,可推知,零输 入响应x(t ) 随时间t的演化过程,几何上即为 状态空间中由初始状态点出发和由各个时 刻变换点构成的一条轨迹.
时,系统的响应.
• 注意: 数学上,零状态响应 xox (t ) 即为零初始
状态下的强迫方程
x Ax Bu, x(t0 ) 0, t [t0 , )
的状态解. • 物理上,零状态响应 xox (t ) 代表系统状态由
输入u所激励的强迫运动
准备知识A2
• 不加证明地给出以下定理和定义.
(3)定理2.每一个基本矩阵 ,对(-∞,∞)中所有的t
而言,是非奇的.
(4)定义2.设 () 是 x A(t ) x(t ) 的任一基本矩
阵,对所有(-∞,∞)中的 (t , t0 )
1 ( t , t ) ( t ) (t0 ) 称 0
是 x A(t ) x(t ) 的状态转移矩阵.
• 从而 x(t ) L1[( sI A) 1 ]x(0)
2 I A A 由于 ( sI A)1 2 3 s s s
1 22 所以 L [( sI A) ] I At A t 2!
• 显然 b0 z (0) ,从而方程的解 z (t ) 可写为
1 22 1 kk z (t ) (1 at a t a t 2! k!
• 其中指数函数 1 22 at e at a t 2!
1 k k at k!

z (0) e z (0)
一.线性定常连续系统齐次方程的解(零 输入响应)
1.讨论
显然 x Ax 是矩阵微分方程,在解该方程之
前先观察纯量微分方程 z az 的解,其中 dz z dt
• 在解 z
az 时,先假定解
2
z (t ) b0 b1t b2t
• 代入方程得到
b1 2b2t 3b3t 2 a (b0 b1t b2t 2
零输入响应和零状态响应,而系统的全部响 应,则是它们的和. • 根据线性系统的性质:若
x(t0 ), 0 x1[t0 , ), y1[t0 , ) 0, u[t0 , ) x2 [t0 , ), y2 [t0 , )
• 则 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , )
At At A ( t ) A A
d (5). (e At ) Ae At e At A dt d (6). (e At ) Ae At e At A dt (7).(e At ) m e A ( mt ) , m 0,1, 2,
3．齐次方程的拉普拉斯解法. • 同样先考虑纯量微分方程 z az 将方程两端作拉氏变换 sz ( s ) z (0) az ( s )
x Ax, x(t0 ) x0 , t [t0 , )
• 物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特
点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输
入的影响.
• 定义: [零状态响应]:
线性系统的零状态响应 xox (t ) 定义为只有输
入作用,即 u (t ) 0 而无初始状态作用,即 x0 0
则 z ( s) ( s a) z (0)
1
• 将这种方法推广到矩阵微分方程的解
对 x Ax, x R nn , A R nn
两边取拉氏变换，则有
sx s x 0 Ax s 或 sI A x s x 0
即
x( s ) ( sI A) 1 x(0)
(4).零输入响应的计算.
• 根据解,则零输入响应计算的核心是计算矩 阵指数函数 e At。
(5).零输入响应表达式的更一般形式.
• •
对线性定常连续系统,通常习惯地取初始 时间 t0 0 。 由于线性时不变系统的分析只与相对时间 有关,这种处理也不失一般性.但若因某种需 要,将初始时间取为 t0 0 ，此时,零输入响 应更有一般的形式：
at
1 k k a t k 0 k !

• 仿上述纯量微分方程的解法,对于矩阵微分
方程 x Ax, x(0) x0 , t 0 其中 x R n1 , A R nn,
则
x e x(0), e R
At At
nn
称 e At 是按矩阵A定义的矩阵指数函数,并可 证明,若A是nn 的方阵时，则有：
(1)
1 2 1 2 x ( t ) x ( t ), u [ t , ) u [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
1 2 1 2 x [ t , ) x [ t , ), y [ t , ) y [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
(1)定理1. x A(t ) x (t ) 的全体解的集合,形成在实 数域上的n维向量空间.
(2)定义1. m n 矩阵函数 中,当且仅当n个列分 别是 x Ax 的n个线性无关解时,称 为 x A(t ) x (t ) 的基本矩阵,即 A ,且 (t0 ) 非奇.
Ati
2.解的性质(矩阵指数函数的性质) • 矩阵指数函数 e At 在线性系统分析中具有重
要意义,为此可基于定义,给出e At 的性质.
1 22 1 k k e I At A t A t 2! k! 1 k k A t A R nn , e At R nn k 0 k !