上式即为图2-1所示电路的状态方程，并将其写成 向量-矩阵形式，即
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 0 u ( t ) c C 1 u (t ) R i(t ) L L
(3)状态向量 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这 些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态 向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量 间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
Ax Bu x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态 变量，根据电路原理有
不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部 变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立 变量
假定电容器初始电压值均为0，有
c3 x2 x1 c 2 c3
因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其 中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以 确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等 效为一个电容。
c2 x3 x1 c 2 c3
（1-3）
其中 是任何实数， u1 和 u2 为任何输入。
考虑一个问题：一个输入和输出有线性关系的系统是不是 一定就是线性系统呢？ 【例 1-1】判断 y(t ) 3u(t ) 4 是否为线性系统。注意此系统输入和 输出有线性关系。 证： 根据定义 1-2 来证明。
H (1u1 2u2 ) 3(1u1 2u2 ) 4 31u1 3 2u2 4
系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。 各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它 们的状态空间描述在类型上的不同。 线性系统和非线性系统 f和 向量方程 X x, u, t Y g x, u, t 的所有元都是变 量 x1，…， xn和u1，…， up的线性函数，则相应的系 统为线性系统。
两个数学方程组成：
状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换 关系。其矩阵形式如下：
x = A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
外部描述 外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为 系统的内部结构和内部信息全然不知（或不去关 心），系统描述直接反映了输出变量与输入变量间 的动态因果关系。 内部描述
式中
(6)状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统 完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。 图2-1所示电路, 若uC (t)为 输出,取x1=uC (t)，x2=i(t)作为 状态变量，则其状态空间表 达式为 ：
1 0 0 x 1 x 1 C u 1 R 1 2 x x2 L L L x1 y 1 0 x 2
HQ u Q Hu
这个公式的物理含义是：对于时不变系统来说，将输入信号延迟一个α ， 等于将输出信号延迟同样的时间。 对于单变量线性松弛时不变系统，有
g (t , ) g (t ,0)
t ,
（大家自己证明）
为方便把 g (t ,0) 记为 g (t ) ，则
内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型， 能够完全反映系统的所有动力学特性。
二、状态的基本概念 (1) 状态 状态是完全地描述动态系统运动状况的信息， 系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运 动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 (2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的信 息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
而
1 Hu1 2 Hu2 1 (3u1 4） + 2 (3u 2 +4) =31u1 +3 2 u 2 +4+4 H(1u1 + 2u2 )
∴
上述系统不是线性系统，而是非线性系统。当然此
系统不是本质非线性系统，可以通过简单的代数变换为 线性系统。
三、线性松弛系统的脉冲响应 g (t, ) 系统的脉冲响应函数 g (t, ) 的物理含义是在时刻τ 对松弛系统施加 一个脉冲函数 (t ) 而得到的输出，用 g (t, ) 表示。 假设一个系统的输入输出关系为 y Hu ，则其对应的脉冲响应函数为
g (t , ) H (t )
δ 函数的定义为：



(t )dt 1
0

(t )
t0 t 0
系统的脉冲响应函数 g (t, ) 与输出的关系为：
y(t ) g (t , )u( )d

（1-4）
四、因果性 若系统在时刻 t 的输出不取决于 t 之后的输入，而只取决于 t 时刻和在 t 时刻之 前的输入，则称系统具有因果性，这样的系统称为因果系统。 其实任何实际的物理系统都是因果系统，即结果不可能发生在原因之前。 对于线性松弛的因果系统，由式（1-4）
u[t0 , ] 产生。我们称 t0 时刻松弛的系统为初始松弛系统或
简称为松弛系统。 对于一个松弛系统，有
y Hu
（1-1）
其中 H 是某一算子，通过它由系统的输入 u 唯一地规定了系统 的输出 y 。上式也可等价写成：
y(t ) Hu(, )
对于所有 t (, )
y(t ) g (t )u( )d
t0 t
g ( )u(t )d
t0
t
2.2 系统的状态空间描述
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵等。
duc (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri (t ) uc (t ) u (t ) dt
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余 项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
第二章线性系统的状态空间描述
本章主要讲述的内容：
线性系统的基本概念；
系统的状态空间描述及其分类； 状态空间表达式的建立 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范形
由状态空间描述导出传递函数阵
线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的状态空间描述 MatLab问题介绍
2.1线性系统的基本概念
一、SISO与MIMO系统 设系统的输入--输出描述如下：
y(t ) g (t , )u( )d


g (t , )u( )d g (t , )u( )d
t
t

[ ∵t >τ ∴g(t,τ )=0 ]
g (t , )u( )d

tLeabharlann 这是对于线性松弛系统经常用到的表达式。
五、时不变系统 定义 1-3 若松弛系统的响应与输入加入系统的时刻无关，则系统称为时 不变系统。 若用 Qα 代表一个位移算子（ Q u(t ) u(t ) ，α 为任何数） ，则定义等 价为
其中： ai和bj 为实常数。i,j=0,1,2, …,n-1； 假定初始条件为零，两边取拉氏变换。 即为复频率域描述，即传递函数。
n 1 b s b1s b0 y ( s) n 1 G( s) n u (s) s an1s n1 a1s a0
系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。
u1 u2 up y1 y2 yq
x1 , x2 , xn
系统输入：环境对系统的作用。 u1 u2 u p 系统输出：系统对环境的作用。 y1 y2 yq 统称为系统的外部变量 内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。 x1,x2,…,xn ，体现了系统的行为。
数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变 换关系。 系统的外部描述：输入—输出描述，不完全的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结 构，是对系统的一种完整的描述。
控制u
被控过程 执行器 被控对象
x
传感器
观测y 反馈控制
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1 u2 up
被控过程
y1
x1 , x2 , xn
y2 yq
一、动态过程数学描述的两种基本类型
一个系统用下图的一个方块来表征。
u1 y1
系统
up yq
输入列向量 u [u1, u2 ,...u p ]T
T 输出列向量 y [ y1, y2 ,... yq ]
p 1
维； 维。
q 1
定义1-1 当且仅当
p q 1
时，系统称为单变量系统（SISO）。否则称为多变量系统（ MIMO）。