1常用分布函数1
1常用分布函数
1.1均匀分布X∼U(a,b)
U(x|a,b)=
x
a
1
b−a
dt(a≤x≤b),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=a+b 2
Var(X)=(b−a)2
12
1.2正态分布X∼N(µ,σ2)
标准正态分布X∼N(0,1)：
Φ(x)=
x
−∞
φ(t)dt
=
1
√
2π
x
−∞
e−t22dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0
Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：
F(x)=
x
−∞
f(t)dt
=
1
√
2πσ2
x
−∞
e−(t−µ)2
2σ2dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ
Var(X)=σ2
1常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)
E(x|µ,λ)=
x
µ
λe−λ(t−µ)dt(x≥µ)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ+1λ
Var(X)=1λ2
1.4Gamma分布X∼Γ(a,b)
G(x|a,b)=
b a
Γ(a)
x
t a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)
其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞
t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分
别为：
E(X)=a b
Var(X)=a b2
1.5Beta分布X∼β(a,b)
I x(a,b)=
1
B(a,b)
x
t a−1(1−t)b−1dt
其中，B(a,b)为Beta函数：
B(a,b)=
1
t a−1(1−t)b−1dt
=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)
1.6χ2分布X∼χ2(n)
H(x|n)=
1
2n2Γ
n
2
(n为正整数;x>0)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=n
Var(X)=2n
1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)
T(x|n)=
1
√
nB
1
2
,n
2
X
−∞
1+
t2
n
−n+12
dt
(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0(n>1时),
Var(X)=
n
n−2
(n>2时).
1.8F分布X∼F(m,n)
F(x|m,n)=
m
n
m2
B
m
2
,n
2
x
t m2−1
1+
mt
n
−m+n2
dt (n,n为正整数;x>0),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=
n
n−2
(n>2),
Var(X)=
2n2(m+n−2)
m(n−2)2(n−4)
(n>4).。