itx

f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx


9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx

这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1

itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）

3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
(1) 复数的共轭： a bi a bi (2) 复数的模：
一、特征函数的定义
定义 1：设 ξ，η 为实值随机变量，称 ζ=ξ+iη 为复随机变量。 称 Eζ=Eξ+iEη 为复随机变量 ζ 的数学期望
定义 2：若随机变量 X 的分布函数为 FX ( x ) ,则称
f ( t ) Ee
itX
e itx dFX ( x )


为 X 的特征函数。
27
例2 若X~P(1 )、Y~P(2 )，且X与Y相互独立
则Z=X+Y~P(1 2 )
解： f X (t ) e
1 ( e it 1)
, fY (t ) e
2 ( e it 1)
( 1 2） ( e it 1)
由性质4知f Z ( t ) f X ( t ) fY ( t ) e
4.5
特征函数
特征函数定义 特征函数性质 逆转公式与唯一性定理 小结
1
问题的引出
随机变量的数字特征只反映了随机变量的某些 特征，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函 数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标 是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随 机变量的分布函数，该指标就是特征函数.
f ( t ) e itx f ( x )dx e itx
a

b
e itb e ita 1 dx it （b a ) ba
7
二 、特征函数的性质与定理
性质1 性质2
即若X，Y独立，Z=X+Y，则有f Z (t ) f X (t ) fY (t )
| f ( t ) | f (0) 1,
a bi a 2 b2
4
特征函数的计算 1、离散型 x1 p 1
x2 p2
... ...
xk pk
... 则其特征函数为 ...
f ( t )=E (e itX )

k 1

pk e itxk
2、连续型
若 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),则其特征函数为
则Z=X+Y~B(n1 n2 , p)
解： f X (t ) ( peit q)n1 , fY (t ) ( peit q)n2
由性质4知f Z (t ) f X (t ) fY (t ) ( pe it q)n1 n2
进而由唯一性定理知Z~B(n1 n2 , p)
进而由唯一性定理知Z~P(1 2 )
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性质的应用
例：已知X~N(0,1)，且f ( t ) e Y~N(a, ),求Y的特征函数
2 t2 2
，随机变量
解：因为Y a X,由性质3可知：
f Y (t ) e
i at
e
1 2t 2 2
e
1 iat 2 t 2 2
f ( t ) f ( t ).
性质3
设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
8
证明
性质1 | f ( t ) | f (0) 1,
f ( t ) f ( t ).

证明
| f (t ) | | e | dF ( x ) 1 1dF ( x ) f (0).