↓
( ) A =
ω π=
1
4 exp ⎡⎣( Im α )2 ⎤⎦
∫∞ −∞
ψα (q ) 2 dq
=
1
( ) ( ) ψα (q ) =
ω π=
1 4
exp
⎣⎡( Im
α
)2
⎦⎤
exp ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪−
ω π=
⎡⎢⎢⎢⎣q
−
2= ω
1 2
α
⎤⎥⎥⎥⎦2
⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫⎪
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q
2 ⎤⎦
该表达式说明相干态下能量的起伏最小，即零点能。上式右面第一项为场的
总能量，第二项代表相干能量。相干的物理含义因此可见：物理量没有起伏
没有噪音（零点起伏除外）。因此两项差值代表场的非相干能量，这表明相
干态场是完全相干的，非相干能量（噪音）仅来自于真空的零点能起伏。
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4
单模相干态
相干态另一种定义方式
( ) ( ) α = exp − 1 α 2 ∑ (αa† )n 0 = exp − 1 α 2 exp(αa† ) 0
2
n n!
2
引入位移算符 D (α ) = exp(αa+ − α*a ) ，所以相干态可以位移真空得到，即
α = D(α) 0
( ) D (α ) = exp 1 α 2 exp(−α*a )exp(αa+ ) 2
−
α* )2
− 1⎥⎦⎤
=
1 4
+
X2
2
因此， X1 和 X2 的起伏分别为
( ∆X1 )2
=
X12
−
X1
2=1 4
( ∆X2 )2
=
X22
−
X2
2=1 4
可见对于相干态而言，有
( ∆X1 )2
( ∆X2 )2
=1 16
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相干态是最小测不准波包中的一个特例。
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10
相干态物理性质
16
1
1
ψ (r,1 t )
0.9
0.9
0.9
0.8
0.8
0.8
1 4 0.7
0.7
0.7
+
=
∂ ∂q
⎞⎠⎟⎟φ0
(q
)
=
0
于是我们得到真空态下的波函数解为
( ) φ0 (q ) =
ω π=
1
4
exp
⎛⎜⎜⎜⎝
−
ωq 2 2=
⎞⎠⎟⎟⎟
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量子光学
第二讲、相干态与压缩态
概述
z 相干态定义 z 相干态的物理性质 z 相位算符 z 压缩态 z 双光子相干态 z 压缩态的实验获得
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2
单模相干态
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3
单模相干态
相干态在粒子数态下的表述
α =∑n n α
n
n
=0
an
n!
← (a† )n 0 =
nα
=
0
an α n!
=
⎜⎝⎛⎜
αn n
!
⎠⎞⎟⎟
• 对于任一的算符函数 f (a,a+ ) 有
D+ ( α ) f (a,a+ )D ( α ) = f (a + α,a+ + α* )
• 位移算符 D (α )(D+ (α )) 相当于相干态 α 的产生和湮灭算符
D(α) 0 = α D+ (α) α = 0
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5
单模相干态
位移算符 D(α) 的性质
• 归一化算符 D+ α ( ) = D (−α ) = D−1 ( α ) ，所以 D ( α )D+ ( α ) = 1
• 平移特性：对算符 a (a+ )的作用相当于使其平移一个复数量 α(α* )
D+ ( α )aD ( α ) = a + α D+ ( α )a +D ( α ) = a+ + α*
14
相干态物理性质
相空间中相干态的起伏
相空间：一对正则共轭广义坐标和广义动量构成的空间，如 q 和 p ， 复平 面 Re α 和 Im α 构成空间。算符 a 和 a+为非厄米算符，其实部 X1和虚部 X2 定义了两个厄米算符
X1
=
1 (a
2
+ a+ )
X2
=
1 (a
2i
−a+ )
有对易关系 [a,a+ ] = 1，可以得到 X1 和 X2 所满足的对易关系
( ) ψ(q, 0) =
ω π=
1 4
exp
⎡⎢⎣ −
ω 2=
(q
−
q0
)2
⎤⎥⎦
该波包随时间的变化可以从Schrödinger方程得到
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9
相干态物理性质
[
X1,
X2
]
=
−
1 2i
因而厄米算符 X1 和 X2 的测不准关系为
( ∆X1 )2
( ∆X2 )2
≥1 16
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15
相干态物理性质
对于相干态 α ，不难计算得到
2
2
计算得到
( ∆q )2
=
= 2ω ,
( ∆p )2
= =ω 2
按测不准原理，由于 [ p,q ] = −i= ，因而有 ∆p∆q ≥ = / 2 ，在相干态有
∆q∆p = = / 2
上式说明相干态是最小测不准量子态，因而也是量子理论所容许的最接近 经典极限的量子态。
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12
相干态物理性质
相干态下测不准关系
在相干态下计算 q 和 p 测不准关系
q=
= 2ω
α (a + a+ ) α
=
= 2ω
(
α
+
α*
),
p = i =ω (α − α* )
2
q2
=
= 2ω
α (a+2 + a2 + aa+ + a+a ) α
=
= 2ω
(
α*2
+
α2
+
2α*α
+
1)
p2 = − =ω α (a+2 + a2 − aa+ − a+a ) α = − =ω (α*2 + α2 − 2α*α − 1)
7
相干态物理性质
坐标表象中高阶本征函数可以写成
φn
(q
)
=
(a+ )n
n!
φ0
(q
)
=
1 n
!
1 ( 2=ω
)n
2
⎜⎝⎛⎜ ωq
−
=
∂ ∂q
⎞⎠⎟⎟n
φ0
(q
)
=
1 (2n n !)12
Hn
(
ω=q )φ0 (q )
其中 Hn 为Hermite多项式，波函数满足正交归一化条件，因此
∫∞ −∞
φn*
X1
= 1 (α + α* ) = Re α,
2
X2
= 1 (α − α* ) = Im α
2i
X12
= 1 a2 + a+2 + aa+ + a+a 4
=
1 4
⎡⎢⎣ ( α
+
α* )2
+ 1⎤⎥⎦
=
1 4
+
X1 2
X22
= − 1 a2 + a+2 − aa+ − a+a 4
=
−1 4
⎢⎣⎡ ( α