同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案8-6
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习题8-6
1. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12
(-π处的切线及法平面方程.
解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2
cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12
(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .
因此在点)22 ,1 ,12
(-π处, 切线方程为 2
2211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即42
2+=++πz y x .
2. 求曲线t t x +=1, t
t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.
解 2
)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,4
1(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,2
1(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 2
1124
121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()2
1(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得
m dx dy y 22=, 12-=dx
dz z , 所以y m dx dy =, z dx
dz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(0
0z y m -=T , 所求的切线方程为
0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为
0)(21)()(00
000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0
453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,
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⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dx
dz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得
z y z x dx dy 61015410----=, z
y y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 16
1)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为
16
1116911
1--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为
0)1(16
1)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.
解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).
因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以
T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,
解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.
解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则
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n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),
点(2,1, 0)处的切平面方程为
1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,
法线方程为
02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则
n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).
在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为
ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,
即 20
2020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为 0
00000cz z z by y y ax x x -=-=-.
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8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程. 解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则
n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).
已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以
2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 4
1-=, 代入椭球面方程得
1)4
(2)2(222=+-+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11
221 =y . 所以切点坐标为)11
22,11221,112(±± . 所求切平面方程为
0)11
22(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2
112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.
解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).
令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为
n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6).
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为
22
364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.
10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则
)21,21,21(z
y x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(100
0000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++0000
00. 化为截距式, 得10
00=++az z ay y ax x , 所以截距之和为 a z y x a az ay ax =++=++)(000000.。