临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案
编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046
3.2.1 空间向量与平行关系
一、学习目标
1.理解直线的方向向量和平面的法向量，
2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。

二、自主学习，合作探究 (一）知识导学
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量
直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 .
3．空间中平行关系的向量表示
1）线线平行
设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ⇔
⇔ ＝ .
2）线面平行
设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α⇔
⇔ ＝0⇔ .
3）面面平行
设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β⇔ ⇔ ⇔ .
4）平面法向量的求法
①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量.
②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量：
设法向量(,,)n x y z =，由0
a n
b n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=⎧⎨++=⎩，
在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量.
★ 特别提醒
平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠
（二）例题解析
题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系
例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。

①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2
υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=-
（3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。

①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =-
（变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。

（1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b =
（2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=--
（3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=
※类型之二：求平面的法向量
例2、如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1
2
，
求平面SCD与平面SBA的法向量. 【分析】由题目可获取以下主要信息：
①所给图形易于建系；
②ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°
③SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1 2
解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量.
※类型之三：利用空间向量证明线面平行问题
例3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【分析】由题目可先获取以下主要信息；
①ABCD—A1B1C1D1为正方体且棱长为2；
②E、F分别是BB1、DD1的中点.
解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行. 三．精讲点拨1.平面法向量的求法
2.例2
四．当堂测验：
（1）若
123
(,,)
a a a a
=，
123
(,,)
b b b b
=是两个非零向量，则a与b平行的充要条件为（）A.3
12
123
a
a a
b b b
== B.
||||
a b
a b
=
C.存在实数K，使0
a kb
+= D.存在非零实数K，使a kb
=
（2）若(2,3,1)
n=-是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（）A.（0，－3，1） B.（2，0，1） C.（－2，－3，1） D. （－2，3，－1）
（3）已知A（1，0，0）B（0，1，0）C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（）A.（1，1，1
） B.
（,
333
-）
C.
（,,
33
3
-） D.
（
333
---（4）在平面ABCD中，(0,1,1)(1,2,1)(1,0,1)
A B C--，若(1,,)
a y z
=-，且a为平同ABC的法向量，则2y等于（） A.2 B.0 C.1 D.无意义
（5）已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，
1
2
，2），则m= （6）已知(1,2,2)
a =-，若||2||
b a
=，且a∥b，则b=
（7）已知平面α经过三点A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），试求α的一个法向量.
五．作业：
非常学案7 ，8。