第三章 空间向量与立体几何
1.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，试判断向量A→A1， B→B1，C→C1，D→D1，A→1A，B→1B，C→1C，D→1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据 下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)
第三章 空间向量与立体几何
(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件 判断α，β的位置关系：
第1课时 空间向量与平行关系
第三章 空间向量与立体几何
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明 平行问题．
2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.
第三章 空间向量与立体几何
1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点) 2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关 系．(重点、难点)
第三章 空间向量与立体几何
[题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线 与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向 量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几 点：
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法 平行 向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ a·u＝.0
面面 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，
平行 b2，c2)，则α∥β⇔
u∥v⇔u－λ. v
第三章 空间向量α的法向量为b，若a·b＝0， 则( )
A．l∥α
B．l⊂α
C．l⊥α
D．l⊂α或l∥α
解析： 因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.
答案： D
第三章 空间向量与立体几何
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2， －4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
C．4
D．－2
解析： ∵α∥β，∴－12＝－24＝－k2.∴k＝4.
4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、 AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.
求证：MN∥平面ADD1A1. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
第三章 空间向量与立体几何
则A(a,0，0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E12a，2a，0. ∵M、N分别为AE、CD1的中点， ∴M34a，a，0，N0，a，12a，∴M→N＝－34a，0，12a， 即n＝(0,1,0)，显然n⊥平面ADD1A1，且M→N·n＝0， ∴M→N⊥n.又MN⊄平面ADD1A1， ∴MN∥平面ADD1A1.
第三章 空间向量与立体几何
解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的 位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．
[规范作答] (1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)， ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分 ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分 ③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， ∴a与b不共线与不垂直． ∴l1与l2相交或异面.4分
第三章 空间向量与立体几何
(2)①∵u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12， ∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.5 分 ②∵u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)， ∴u＝－32v，∴u∥v，∴α∥β.6 分 ③∵u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)， ∴u 与 v 不共线也不垂直， ∴α、β 相交但不垂直.8 分
答案： C
第三章 空间向量与立体几何
3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方 向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
解析： ∵l1∥l2，∴－x7＝3y＝48， ∴x＝－14，y＝6.
答案： －14 6
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)， ∴u·a＝－12－4＋16＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.9 分 ②∵u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)， ∴u＝14a， ∴u∥a，∴l⊥α.10 分 ③∵u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)， ∴u 与 a 不共线也不垂直，∴l 与 α 斜交.12 分
第三章 空间向量与立体几何
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 共线 或 平行 的向量，一 条直线的方向向量有 无数 个． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的 法 向量 ．
第三章 空间向量与立体几何
3．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b 平行 ＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔ a＝λb .
①u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12 ②u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0) ③u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2) (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断α与l的位置关系： ①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4) ②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0) ③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)