【解析】由于 M 中元素ba只能对应 0，1 只能对应
a.所以2ab＝0，a＝2，即 b＝0，a＝2，因此 a＋b＝2，故 选 C.
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3．已知函数是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x) ＝x－1，则函数 f(x)的解析式为 f(x)＝12x2－32x＋2 ．
【解析】设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由 f(0)＝2，得 c＝2. 由 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 即 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－(ax2＋bx＋2)＝x－1， 得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0. 上式恒成立，则2aa＋－b1＋＝10＝，0，得ba＝＝－12，32. 故 f(x)＝12x2－32x＋2.
4．解决抽象函数问题，通常的方法是赋值法，并善 于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论， 找到解题的思路和方法．
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1．(2014 山东)函数 f(x)＝ log12x－1的定义域为( C )
2．与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分 思想，即将问题分段解决．
3．求函数的解析式的常用方法有：待定系数法、换 元法、凑配法、函数方程法、赋值法等．当已知函数类 型时，常用待定系数法，复合函数问题常用换元法或凑 配法，抽象函数问题常用赋值法或函数方程法．
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的定义域等于各段函数的定义域的
，其值域等于各段函
数的值域的
．分段函数虽由几个部分组成，但它表示
的是____个函数．
并集
并集
一
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5．映射的概念
设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对
于集合 A 中的 任何一个 元素，在集合 B 中都有 唯一 的
(1)判断 y 是否是关于 x 的函数，如果是，求出函数 的定义域和解析式； (2)王兵一年的燃油费估计是多少？
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(1)y 是关于 x 的函数．
函数的定义域是[0，10 000]，
函数解析式为 y＝8×1x00×7.50＝0.60x. (2)当 x＝10 000 时，y＝0.60×10 000＝6 000，
第二章 函 数
第4讲 函数的概念、解析式与定义域
【学习目标】 1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一 些简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方 法(图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
【基础检测】
1．函数 y＝lg（xx－＋11）的定义域是( C ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
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1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值 的集合，也就是：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根 的被开方数不小于零；(3)对数的真数必须大于零；(4)ax
π 与 logax 中，a＞0 且 a≠1；(5)y＝tan x 中，x≠kπ＋ 2 (k∈Z)等．在实际问题中还要注意要有实际意义．
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二、函数的定义域
例2(1)函数 y＝ l－n（x2x－＋31x）＋4的定义域是 (-1,1) ；
(2)若 f(x)＝
1
，则
log12（2x＋1）
f(x)的定义域为(
A

)
A.－12，0
B.－12，0
C.－12，＋∞
D．(0，＋∞)
(3)若函数 f(x)＝mx2＋x－4m4x＋3的定义域为 R，则实
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【解析】(1)y 是关于 x 的函数． 函数的定义域是[0，10 000]， 函数解析式为 y＝8×1x00×7.50＝0.60x. (2)当 x＝10 000 时，y＝0.60×10 000＝6 000， 所以王兵一年的燃油费估计是 6 000 元． 【点评】根据已知条件求函数的解析式常用待定系 数法、换元法、凑配法、赋值法、解方程组法等． (1)当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、指 数函数等)，常用待定系数法． (2)分段函数的解析式必须分段考虑，其次注意实际 问题中的自变量取值有意义的条件．
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2．函数的特点
①函数是一种特殊的映射，它是由一个 非空数集
到
另一个_非_ 空数集_ _的映射；②函数包括定义域、值域和对
应法则 f，简称函数的_ 三要素 __；③如果两个函数的
定义域
和 对应关系
完全一致，则这两个函数相
等，这是判断两个函数相等的依据．
元素和它对应，那么这样的 对应 (包括集合 A、B，
以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B
的映射，记作：“ f：A→B
”．
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一、映射与函数的概念 例1已知映射 f：A→B，其中 A＝B＝R，对应法则 f：x→y＝－x2＋2x，对于实数 k∈B 在集合 A 中存在两 个不同的元素与它对应，则 k 的取值范围 是 k∈(－∞，1) ．
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三、函数的解析式及求法 例3(1)已知函数 f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次 项系数大于零，若 f(g(x))＝4x2－20x＋25，求 g(x)的表达 式． (2)已知 f(x)满足 f( x＋1)＝x－1，求 f(x)解析式． 【解析】(1)由题意可设 g(x)＝ax＋b(a>0)， ∵f(g(x))＝4x2－20x＋25， ∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25， 即 a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25， ∴a＝2，b＝－5，∴g(x)＝2x－5. (2)令 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2 代入已知表达式可得 f(t)＝t2－2t(t≥1)． 即 f(x)＝x2－2x(x≥1)
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例4对于函数 f(x)，x∈R，若 f(x)＝x 则称 x 为 f(x) 的“不动点”，若 f(f(x))＝x，则称 x 为 f(x)的“稳定点”， 函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B.
(1)求证：A⊆B； (2)若 f(x)＝ax2－1(a∈R)，且 A＝B≠∅，求实数 a 的取值范围．
1．函数定义域：函数 y＝f(x)(x∈A)是一种特殊的 映射 f：A→B(A、B 是非空数集)，其原象集 A 就是函数 的定义域．
2．求函数定义域时，一般遵循以下原则： (1)f(x)是整式时，定义域是全体实数． (2)f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一 切实数． (3)f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负 值时的实数集合．
【解析】要使函数有意义，则xx＋－11>≠00，，解得 x>－ 1 且 x≠1，
即函数定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
2．a、b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a，0}，f： x→2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x， 则 a＋b＝( C )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
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【点评】对于映射 f：A→B 的理解要抓住以下三点： (1)集合 A、B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体， 是一个系统； (2)对应法则 f 具有方向性，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系是不同的； (3)对于 A 中的任意元素 a，在 B 中有唯一元素 b 与 之相对应．其重点在“任意”、“唯一”两词上．集合 B 中的元素可以没有原象．
若 a≤0，则 f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a)) ＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．
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【知识要点】
1．函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中 都有 唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作：y＝f(x)，x∈A ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ； 与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ，{f(x)|x∈A}⊆B.
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【解析】∵y＝－x2＋2x， ∴y∈(－∞，1]． 由二次函数图象可知： 当 k<1 时，直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 有两个不同的 交点； 当 k＝1 时，直线 y＝1 与 y＝－x2＋2x 有且仅有一 个交点； 当 k>1 时，直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 无交点． 故应填 k∈(－∞，1)．
3．函数的表示法
函数的表示法： 解析法、列表法、图象法
．
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4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表 示函数，这种形式的函数叫
．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是
一分个段整函体数，分段处理后，最后写成一个函数表达式．分段函数
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例42013 年 5 月 1 日，王兵买了一辆别克新凯越 1.6 L 手动挡的家庭轿车，该种汽车燃料消耗量标识是：市 区工况：10.40 L/100 km；市郊工况：6.60 L/100 km； 综合工况：8.00 L/100 km.王兵估计：他的汽车一年的行 驶里程约为 10 000 km，汽油价格按平均价格 7.50 元/L 来计算，当年行驶里程为 x km 时，燃油费为 y 元．