高中数学竞赛训练题—填空题1. 若不等式1-log a )10(xa -＜0有解，则实数a 的范围是 .2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则方程21)(-=x f 的解集为 。

3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且21212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ⋅⋅⋅Λ的最小值为____________________.4. ,x R ∈ 函数()2sin3cos 23x xf x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。

当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1w z z=+，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。

如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 .8．＝ 。

9．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。

10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足：123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .12．已知坐标平面上三点()())0,3,,A B C，P 是坐标平面上的点，且PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是______________.14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式92)211(422+<+-x x x 的解集为_______________________.16． 从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则（m ，n ）的可能值为 ．17．,,O A B 是平面上不共线三点，向量a ρ=，OB b =u u ur r ，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，向量p ρ=．若||5a =r ，||3b =r ，则)(b a p ρρρ-⋅的值是____ ．18. 若14483=++z y x ，则222z y x ++ 的最小值为 。

19．已知定点A （3，0）和B （－2，1），又M 是椭圆1162522=+y x 上的一动点，则MB MA +的最大值与最小值之和等于 。

20．过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则m inm axS S 的值为 。

21．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

22. 整数x y z >>，且222 4.625xyz++=，则整数组(,,)x y z 为 。

23.关于x 的三次函数)(x f y =的两个极值点为P 、Q ，其中P 为原点，Q 在曲线221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为__________.24. 满足方程2所有实数解为 。

25.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为__________ .26．在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，则AD 长度的最小值为 。

27. 已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是28．6个不同大小的数如图形式随机排列， ▲ -------------第1行 设第一行的数为1M ，第二、三行中的最大 ▲ ▲ ---------第2行 数分别为32,M M ，则满足321M M M <<的 ▲ ▲ ▲--------第3行 概率是 .29．方程116sin cos 16x x x xππ=+的解的集合为 。

30．整数x y z >>，且222 4.625xyz++=，则,,x y z 分别为 。

31． 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合 },1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M I 所表示的图形面积为32. 40162=N 设，则不超过1Nn =的最大整数为 。

33． 在三棱锥ABC S -中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则三棱锥ABC S -体积的最大值为 ．34．200720072007N的末二位数字是 。

35．设,,,a b c d 为非负实数，满足a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，则 a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++++++＝ 。

36. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，则 △ABC 的最小内角的取值范围为高中数学竞赛训练题答案---填空题部分1、当a ＞1时，不等式化为10-a x＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-a x ＜a ⇒10-a ＜a x＜10不等式恒有解 故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10）2解：依题意，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以４为周期的周期函数。

可求得 1112()11132x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩由图象有 1(41)2f k -=-，（k ∈Z ）。

3.20024002. 提示：令i ix a =+22，则i i i x x a -⋅=12，且121=+++i x x x Λ，其中.2002,,2,1Λ=i)(122002322002212002200221x x x x x x a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅∴ΛΛΛ)()(200121200231x x x x x x +++⋅⋅+++⋅ΛΛΛ200120012120012002312001200232200221200220012001200112x x x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥200220022002400220012=⨯=4. ,x R ∈ 函数()2sin3cos 23x xf x =+的最小正周期为12π. 4.解答 2sin 43cos ()1223x xf x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。

5.设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22x yx y +==00220,2x x y y ⇒=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹为22(10)9x y -+=。

6.. 设z 是虚数，1w z z =+，且12w -<<，则z 的实部取值范围为112a -<<.6.设2222120a bi bz a bi a bi b a b a b-=+⇒-<++<⇒-=++2201b a b ⇒=+=或 当0b =，无解；当221112a b a +=⇒-<<。

7.1)1(224+--≥x x x x k 222133131(),124424x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为448111,(1)222x x x ≤=-时，取最大值（），所以k 的最小值为1192。

8．＝ 。

8.根据题意要求，2605x x +≥+，20571x x +≤+≤。

于是有2715x x +=+。

因此cos01==。

因此答案为 1。

9．设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++，则1()()_________f x f x +=。

解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x---+=+++++=++++++。

10、371．解：当229a ≤≤时，()12,a a 有29C 种选择方法， 3a 有6种选择方法，所以()123,,a a a 共有296216C ⨯=种选择方法；当21014a ≤≤时，一旦2a 取定，1a 有21a -种选择方法，3a 有215a -种选择方法，所以选择()123,,a a a 的方法有()()214221011595104113122131155a aa =--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑种．综上，满足条件的子集共有371个．11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .11.12-=n a n ．解：由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ．所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以1+n a =n ，即有12-=n a n . 12.()()04122≤=-+y y x .解：如图，作正三角形PCD ，由于ABC ∆也是正三角形，所以可证得 ACP ∆≌BCD ∆， 所以BD AP =．又因为BD PB PC PB PD =+=+，所以点D P B ,,共线．CBP PAC ∠=∠，所以P 点在ABC ∆的外接圆上，又因为,PA PB PA PC >>，所以所求的轨迹方程为()()04122≤=-+y y x ．13.已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.13、【答案】23-.提示：弦切变换,构造齐次式解题. )]1()1sin[(]1()1sin[(50000αααα-++=-++ )1sin()1cos(6)1cos()1sin(40000-+-=-+⇒αααα.14【答案】85. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8521121233512=-⋅）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([55544512=+-⋅C C C ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于85831=-. 15.不等式92)211(422+<+-x x x 的解集为_______________________.15.)845,0()021[⋃-，.提示：原不等式等价于)21222()92(42x x x x +-+⋅+< 设t x =+21，则10≠≥t t 且，122-=t x ，从而原不等式可化为271108)1(1)8()1()1(10222222<<<≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<+≠≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-<-≠≥t t t t t t t t t t t 或 16.答案:（10，6）.解：()()221122,m n m nm n m n C C C C P A P B C C +++==，由于()()P A P B =，所以2211m n m n C C C C +=，整理得()2m n m n -=+．即m n +是完全平方数，且919m n ≤+≤，93m n m n +=⎧⎨-=⎩，164m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩（不合条件），106m n =⎧⎨=⎩.故()(),10,6m n =．17答案:8．解：如图,QP 是线段AB 的垂直平分线，OP OQ QP =+u u u r u u u r u u u r，()12OQ a b =+u u u r rr ，QP BA ⊥u u u r u u u r ，()()p a b OQ QP BA OQ BA QP BA ⋅-=+⋅=⋅+⋅u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r()11()()822a b a b a b 22=+⋅-=||-||=r r r r r r ． 18. 若14483=++z y x ，则222z y x ++ 的最小值为20091。