当前位置:文档之家› 高中数学竞赛集训训练题

高中数学竞赛集训训练题

高中数学竞赛集训训练题1.b a ,是两个不相等的正数,且满足2233b a b a -=-,求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.2.已知不等式24131...312111an n n n >++++++++对一切正整数a 均成立,求正整数a 的最大值,并证明你的结论。

3.设{}n a 为14a =的单调递增数列,且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++,求{n a }的通项公式。

4.(1)设,0,0>>y x 求证:;432yx y x x -≥+ (2)设,0,0,0>>>z y x求证:.2333zxyz xy x z z z y y y x x ++≥+++++5. 设数列ΛΛΛ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7.已知数列{}n a 满足1a a =(0,1a a ≠≠且),前n 项和为n S ,且(1)1n n aS a a=--,记lg ||n n n b a a =(n *∈N ),当a =时,问是否存在正整数m ,使得对于任意正整数n ,都有m n b b ≥?如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由.8. 在ABC ∆中,已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u rg ,又ABC ∆的面积等于6.(Ⅰ)求ABC ∆的三边之长;(Ⅱ)设P 是ABC ∆(含边界)内一点,P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ,求123d d d ++的取值范围.9.在数列{}n a 中,1a ,2a 是给定的非零整数,21n n n a a a ++=-. (1)若152a =,161a =-,求2008a ;(2)证明:从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.10. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ,Rt ABC ∆以A (0,1)为直角顶点,边AB 、BC 与椭圆交于两点B 、C 。

若△ABC 面积的最大值为278,求a 的值。

11. 如图,椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>,1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点.(Ⅰ)设点)0,(0x M ,若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时, ||PM 取得最大值与最小值,求0x 的取值范围;(Ⅱ)若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3,最小值为1,且与直线:l y kx m =+相交于A ,B 两点(A B ,不是椭圆的左右顶点),并满足22BA AA ⊥.试研究:直线l 是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.12.如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面SAD 为正三角形,且垂直于底面ABCD .(1)求四棱锥ABCD S -的体积;(2)在边CD 上是否存在一点E ,使得AE SB ⊥?请说明理由.13.(本小题满分15分) 关于y x 、的方程C :04222=+--+m y x y x .(1)若方程C 表示圆,求实数m 的取值范围;(2)在方程C 表示圆时,若该圆与直线l :042=-+y x 相交于N M 、两点,且554||=MN ,求实数m 的值; (3)在(2)的条件下,若定点A 的坐标为(1,0),点P 是线段MN 上的动点,求直线AP 的斜率的取值范围.S A B CDBACEA 1B 1C 1P nP n+114.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >≥),其离心率为45,两准线之间的距离为252。

(1)求,a b 之值;(2)设点A 坐标为(6, 0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角△ABP (字母A ,B ,P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程。

15. 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,E 是AC 中点. (Ⅰ)求证:1AB //平面1BEC ; (Ⅱ)若12,2AB AA =A 到平面1BEC 的距离; (Ⅲ)当ABA A 1为何值时,二面角E —BC 1—C 的正弦值为510?16.(本小题满分15分)在xoy 平面上有一系列点),,(),,(222111y x P y x P …,Λ),,(n n n y x P .对每个正整数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上.以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切,且⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切.若11=x ,且n n x x <+1 (*N n ∈).(1)求证:数列}1{nx 是等差数列; (2)设⊙n P 的面积为n S ,n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证:对任意*N n ∈,均有23π<n T .17. (本小题满分18分)二次函数r qx px x f ++=2)(中,实数r q p 、、满足mrm q m p ++++12=0,其中0>m . 求证: (1)0)1(<+m mpf ;(2)方程0)(=x f 在(0,1)内恒有解.18.如图,斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a , 侧面⊥CB C B 11底面ABC ,且BC AC ⊥1. (1) 求异面直线1AA 与11C B 间的距离;(2) 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数.19.设向量,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量y x ++=2(,j y i x b +-=)2(,且a b ||-||=2r r .(1)求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程; (2)设(1,0),(2,0)A F -,问是否存在常数)0(>λλ,使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立?证明你的结论.ABC1A1B 1C20.已知抛物线2128y x x =-+-和111(,)48A 。

过11(,)48F -任作直线,交抛物线于B 、C 两点。

⑴求△ABC重心的轨迹方程,并表示成()y f x =形式;⑵数列{}k x 中,1102x <<,且满足1()k k x f x +=。

试证:1135nkk k x +=<∑21.椭圆C :2222by a x += 1 ( a >b >0 )的两个焦点为F 1 ( – c , 0 ),M 是椭圆上一点,且满足F F 21⋅= 0。

(Ⅰ)求离心率e 的取值范围;(Ⅱ)设斜率为k ( k ≠ 0 )的直线l 与椭圆C 相于不同的两点A 、B ,Q 为AB 的中点,问A 、B 两点能否关于过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0、Q 的直线对称?若能,求出k 的范围,若不能,请说明理由。

22.已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足:(1)21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+(12,x x ∈R ,a 为常数);(2)(0)()14f f π==; (3)当0,4x π∈[]时,()f x ≤2. 求:(Ⅰ)函数()f x 的解析式; (Ⅱ)常数a 的取值范围.23.把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表:1 3 5 7 9 11— — — —— — — — —设*)(N j i a ij ∈,是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数。

(I ) 若a mn =2005,求m n ,的值; (II )已知函数f x ()的反函数为fx x n -=138() ()x >0,若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ,求数列{()}f b n 的前n 项和S n 。

24.若a 、b 、+∈R c ,且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++,求k 的最大值。

25. 设定义在[0,2]上的函数()f x 满足下列条件:①对于[0,2]x ∈,总有(2)()f x f x -=,且()1f x ≥,(1)3f =; ②对于,[1,2]x y ∈,若3x y +≥,则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+. 证明:(1)12()133n nf ≤+(*n N ∈);(2)[1,2]x ∈时,1()136f x x ≤≤-.2611x --。

27.设非负等差数列{}n a 的公差0d ≠,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,证明: (1)若*,,m n p N ∈,且2m n p +=,则112m n pS S S +≥; (2)若5031,1005a ≤则2007112008n nS =>∑。

28.已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2111N n n a a a n nn n∈≥--=--.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)设21nna b=,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(Ⅲ)设2)12(sin π-=n a c nn ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,74<n T .高中数学竞赛训练题答案1.b a ,是两个不相等的正数,且满足2233b a b a -=-,求所有可能的整数c ,使得ab c 9=. 1.解:由2233b a b a -=-得b a b ab a +=++22,所以0)()(2>+-+=b a b a ab ,由此得到1>+b a .又因为)()()(4122b a b a ab b a +-+=>+,故341<+<b a .………………………4分 又因为)()(2b a b a ab +-+=, 令 )34,1(∈+=b a t 则t t ab -=2.……………6分当1t ≥时,2t t -关于t 单调递增,所以409ab <<,094ab <<.因此 c 可以取1,2,3. …………………………………………………………………10分2:先证f(n)= 131...312111++++++++n n n n 单调递增,则f(1)=1213最小 故1213>25,26,24=<a a a 所以即.3解:22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++2111()8()164n n n n n n a a a a a a +++⇔+-++=211(4)4n n n n a a a a ++⇔+-=14n n a a +⇔+-=)24⇔=2⇔=因此,2n =。

相关主题