最新高中数学奥数竞赛训练题一
一．选择题（每小题6分，共36分）
1．如果100,0,log log 3
x y x y y x >>+=， 144xy =，那么x y +的值是（ ） .203A .263B .243C .103D
2. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ）
A. f （－2）＞f （－1）
B. f （－1）＞f （－2）
C. f （1）＞f （2）
D. f （－2）＞f （2）
3．已知二次函数()f x 满足(1)(1),f x f x -=+4(1)1,f -≤≤-1(2)5,f -≤≤则(3)f 的取值范围是( )
A. 7(3)26f ≤≤
B. 4(3)15f -≤≤
C. 1(3)32f -≤≤
D. 2825(3)33f -
≤≤ 4．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 ( )
A.
15 B. 25 C. 14 D.13
5. 设在xoy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合{}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示图形的面积是( ) A. 31 B. 23 C. 1 D. 43
62007x y
=的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组
二．填空题（每小题9分，共54分）
7．函数213
()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为 .
8．已知0
2sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________. 9.设{}n a 是一个等差数列，12119,3,a a ==记16n n n n A a a a ++=+++L L ，则n A 的最小值为
10．函数()f x 满足(1)1003f =，且对任意正整数n 都有
2(1)(2)()()f f f n n f n +++=L L ，则(2006)f 的值为
11．.已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥-≥03030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是
12．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1（n ∈N ＋）时，规定[x ]＝n ，则不等式 045][36][42<+-x x 的解集为
三．解答题（每小题20分，共60分）
13．设集合A =12log (3)2x x ⎧⎫⎪⎪-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，B =21a x x a ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.
14．三角形ABC 的顶点C (,)x y 的坐标满足不等式22
82,3x y y y +≤+≥.边AB 在横坐标轴上.如果已知点Q (0,1)与直线AV 和BC 的距离均为1,求三解形ABC 面积的的最大值.
15．设函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=成立，数列{}n a 满足1(0)a f =且
*11()().(2)
n n f a n N f a +=∈-- （1）求2008a 的值；
（2
）若不等式12111(1)(1)(1)n
a a a +++≥L L 对一切*n N ∈均成立，求k 的最大值.
数学竞赛训练题一参考答案
1．B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.D
7. (,2)-∞- 8．23-
.. 9． 57 10．12007
11． 9 12． 82<≤x
13. 解:a ∈(-1,0)∪(0,3)
14．解：点C 在如图的弓形区域内.设1200(,0),(,0),(,)A a B a C x y ，由点Q 到直线AC ，BC 的距离等于1得
201010202020(2)20,
(2)20.y a x a y y a x a y -+-=-+-=
这说明12,a a 是方程2000(2)20y a x a y -+-=的2个根.所以 22
0001212204[(2)]()4,(2)x y y AB a a a a y +-=+-=- 这里0[3,4]y ∈.首先固定0y ，欲使AB 最大，需
2209(1).x y =--
因此当0[3,4]y ∈为某一定值时，点C 应位于弓形弧上.所以
000011322ABC S AB y y y ∆=⋅≤≤=时取等号)
115.(1)1,0,(1)(1)(0),(0) 1.(0)1x y f f f f a f =-=-=-=∴==∴∈∴1212212112112112112解:令得 当x>0时,-x<0,f(0)=f(x)f(-x)=1, 0<f(x)<1.设x ,x R,且x <x ,则x -x >0,f(x -x )<1,
f(x )-f(x )=f(x )-f(x +x -x )=f(x )[1-f(x -x )]>0. f(x )>f(x ),函数
y=111200812
()(2) 1.(1
2)(0),20.22
1,4015
111(2)
(1)(1)(1)
111(1)(1
)(1)11(1)(1n n n n n n n n f a f a f an an f a a a a a n a a a a a +++--=∴+--=--=-=∴=-=+
++≥+++≤++L L L L n+1n f(x)在R 上是单调递减函数.
1由f(a )=得f(-2-a )
即由,知k .设F(n)=1)(1)()0
111(1)(1)(1)(1)(1)1,(1)()()()(1)a a F n a a a F n F n F n F n F n F n F +>++++=+=>+>∴≥=≤L L L L 则且又即所以,k 即k。