高考专题—数列求和放缩法
一．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
<n B
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=.
(1) 求证：22
14
n n n a a S ++<；
(2)
<⋅⋅⋅+<
2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n
a a a a
⋅+≥--)1()(2；
（2）等比数列{a n }中，11
2a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设n
n n a a b -=12
，数列{b n }
前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13
．
3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+
=+n a n a n n n ．求证：1
12
1
3-++-≥>n n n n a a
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,….
已知数列{a n }满足：a 1=1且)2(21322
1≥=
---n a a n n n .
（1） 求数列{a n }的通项公式；
（2） 设m ∈N +，m ≥n ≥2，证明（a n +n 2
1）m
1（m-n+1）≤
m m 12-
2设数列{n a }满足12,311+-==+n a a a n n
（1） 求{n a }的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{n n d b ⋅}的前n 项和3
1
<n s
3已知正项数列{n a }满足)(,)
1(1,12
11*
+∈⋅++
==N n a n a a a n n n （1） 判断数列{n a }的单调性；
（2） 求证：2
1)
1(1
112111+<-<+-++n a a n n n n
4求证：2222111171234
n ++++<L
5已知*
21().n n a n N =-∈求证：
*12
231
1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈
6
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1．
（Ⅰ）写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数m >4，有4511178
m a a a +++<L .。