数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21<nB 2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<； (2)<⋅⋅⋅+ ②．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明： n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ， 且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,…. 高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定： 曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图） 求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。

2.（06福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -， 是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k-=L ≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （Ⅲ）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.（07湖北）已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时， (1)1m x mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =L ，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+L的所有正整数n ．5. （08辽宁）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项 公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++L .数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21<nB2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ， 且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,….高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定： 曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图） 求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+； （Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。

2.（06福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -， 是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k-=L ≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （Ⅲ）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.（07湖北）已知m n ，为正整数， （I ）用数学归纳法证明：当1x >-时， (1)1m x mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =L ，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+L的所有正整数n ．5. （08辽宁）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项 公式,并证明你的结论; ⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++L .。