湖北省武汉市四月调考九年级数学模拟试卷（四）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣32．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣23．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为（）A．0.25×107B．2.5×107C．2.5×106D．25×1054．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．下列计算正确的是（）A．3a﹣a=2 B．b2•b3=b6C．a3÷a=a2D．（a3）4=a76．如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．8．某市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据该市环保局公布的﹣这五年各年的空气质量：优良的天数，绘制成如图折线图，则这五年的全年空气质量优良天数平均为（）A．343天B．344天C．345天D．346天9．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个图形中黑点的个数是（）A．44 B．48 C．49 D．5410．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：÷=．12．因式分解：x2﹣2x+1=．13．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到没有过保质期饮料的概率为．14．如图，2×2网格（•武汉模拟）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．16．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AB=，BC=12，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，则BD的长为．三、解答题（共8题，共72分）17．直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，E、F分别为BD上两点，AC交BD于O．（1）请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明；（2）在问题（1）中，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形，请说明理由．19．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．20．四边形ABDC在如图所示的平面直角坐标系中，将四边形ABDC向右平移4个单位长度后得四边形A1B1D1C1，再将四边形ABDC绕点O旋转180°后得到四边形A2B2D2C2．（1）在图中画出四边形A1B1D1C1与四边形A2B2D2C2；（2）四边形A1B1D1C1与四边形A2B2D2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标为；（3）直接写出过A2、B2、D2三点的外接圆的直径为．21．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=AB，OT交⊙O于M（1）如图1，BT交⊙O于E，求证：sin∠BTO=；（2）如图2，若TC切⊙O于点C，求tan∠CBM的值．22．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元，（1）求购进A，B两种纪念品每件需多少元？（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？23．如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC=∠BAD=90°，AC交BD于P，且tan∠C=．（1）求证：AD=AB；（2）如图2，BE⊥CD于E交AC于F．①若F为AC的中点，求的值；②当∠BDC=75°时，请直接写出的值．24．已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．湖北省武汉市四月调考九年级数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣3【考点】有理数大小比较．【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，故选D．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．2．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2【考点】二次根式有意义的条件．【分析】因为是二次根式，所以被开方数大于或等于0，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：x﹣2≥0，解得：x≥2．故选A．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为（）A．0.25×107B．2.5×107C．2.5×106D．25×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】应用题．【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．【解答】解：根据题意：2500000=2.5×106．故选C．【点评】把一个数写成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，因此不能写成25×105而应写成2.5×106．4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可直接作出判断．【解答】解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68，∴丙成绩最稳定，故选：C．【点评】本题主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．下列计算正确的是（）A．3a﹣a=2 B．b2•b3=b6C．a3÷a=a2D．（a3）4=a7【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法则、同底数幂的除法则、幂的乘方法则法则进行判断即可．【解答】解：A.3a﹣a=2a，故A错误；B．b2•b3=b2+3=b5，故B错误；C．a3÷a=a2，故C正确；D．（a3）4=a12，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是同底数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．6．如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠ADE，又∵∠DEC=∠AED，∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD=10，在直角△ABE中，BE===8，∴CE=BC﹣BE=AD﹣BE=10﹣8=2．故选B．【点评】本题是平行四边形的性质，以及勾股定理，等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确求得AE的长是关键．7．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据左视图是左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面看可得到左边有2个上下的正方形，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力．8．某市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据该市环保局公布的﹣这五年各年的空气质量：优良的天数，绘制成如图折线图，则这五年的全年空气质量优良天数平均为（）A．343天B．344天C．345天D．346天【考点】算术平均数；折线统计图．【分析】利用折线统计图得到这五年的全年空气质量优良天数，然后根据平均数的定义求解．【解答】解：（334+333+345+347+356）÷5=343，故选A【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．9．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个图形中黑点的个数是（）A．44 B．48 C．49 D．54【考点】规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可．【解答】解：观察图形发现：第一个图形有5×（1+1）﹣6=4个黑点；第二个图形有5×（2+1）﹣6=9个黑点；第三个图形有5×（3+1）﹣6=14个黑点；第四个图形有5×（4+1）﹣6=19个黑点；…第一个图形有5×（n+1）﹣6=5n﹣1个黑点；当n=10时，有50﹣1=49个黑点，故选C．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】数形结合．【分析】求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE=S﹣S△ADP﹣S△CEP列式整理得到y与x的关系梯形AECD式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，∴CD=AB=2，BC=AD=3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE=×3=2，①点P在AD上时，△APE的面积y=x•2=x（0≤x≤3），②点P在CD上时，S△APE=S﹣S△ADP﹣S△CEP，梯形AECD=（2+3）×2﹣×3×（x﹣3）﹣×2×（3+2﹣x），=5﹣x+﹣5+x，=﹣x+，∴y=﹣x+（3＜x≤5），③点P在CE上时，S△APE=×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7，∴y=﹣x+7（5＜x≤7），故选：A．【点评】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y 与x的关系式是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：÷=2．【考点】二次根式的乘除法．【分析】利用二次根式乘除法的运算法则，即可得出结论．【解答】解：÷===2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是：能熟练运用二次根式乘除法的运算法则解决问题．12．因式分解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到没有过保质期饮料的概率为．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，∴从这5瓶饮料中任取1瓶，取到没过保质期饮料的概率为；故答案为．【点评】此题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．如图，2×2网格（•武汉模拟）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=2．【考点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．【分析】作AF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，则BG∥AF，由AB=BD，得出FG=DG，BG=AF，设A（a，），则B（2a，），C（﹣a，﹣），即可得到DG=FG=a，OD=3a，作CH⊥y轴于H，则△ODE∽△HCD，得出=，即=，求得OE=，然后根据S△ODE=OD•OE=，得出×3a×=，解得k=2．【解答】解：作AF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，则BG∥AF，∴AB=BD，∴FG=DG，BG=AF，设A（a，），则B（2a，），C（﹣a，﹣），∴DG=FG=2a﹣a=a，∴OD=3a，作CH⊥y轴于H，∴CH∥y轴，∴△ODE∽△HCD∴=，即=，∴OE=，∴S△ODE=OD•OE=，∴×3a×=，∴k=2．故答案为2．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及系数三角形的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．16．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AB=，BC=12，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，则BD的长为13．【考点】旋转的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】由于AD=AC，∠CAD=90°，则可将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△AEC，如图，根据旋转的性质得∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，则∠ABE=45°，BE=AB=5，易得∠CBE=90°，然后在Rt△CBE中利用勾股定理计算出CE=13，从而得到BD=13．【解答】解：∵△ADC为等腰直角三角形，∴AD=AC，∠CAD=90°，将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△AEC，如图，∴∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，BE=AB=×=5，∵∠ABC=45°，∴∠CBE=45°+45°=90°，在Rt△CBE中，CE===13，∴BD=13．故答案为13．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键的利用旋转得到直角三角形CBE．三、解答题（共8题，共72分）17．直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】探究型．【分析】先把点（3，5）代入直线y=2x+b，求出b的值，再根据2x+b≥0即可得出x的取值范围．【解答】解：∵直线y=2x+b经过点（3，5），∴5=2×3+b，解得b=﹣1，∵2x+b≥0，∴2x﹣1≥0，解得x≥．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，先根据题意得出关于x的一元一次不等式是解答此题的关键．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，E、F分别为BD上两点，AC交BD于O．（1）请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明；（2）在问题（1）中，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形，请说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据平行四边形的性质得一边相等、一角相等，然后找到另外一个相等的角或相等的边即可证明全等；（2）首先得到四边形AECF是平行四边形，然后利用对角线相等的四边形是矩形即可判定．【解答】证明：（1）添加条件AE=CF即可证得△ABE≌△CDF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF；（2）当AC=EF时，四边形AECF是矩形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAO=∠FCO，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形形的判定．矩形的判别方法是说明一个四边形为矩形形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四角相等；③对角线相等．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．19．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程： =，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，∴=，解得：x=1，∴袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，∴两次摸到不同颜色球的概率为：P==．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．四边形ABDC在如图所示的平面直角坐标系中，将四边形ABDC向右平移4个单位长度后得四边形A1B1D1C1，再将四边形ABDC绕点O旋转180°后得到四边形A2B2D2C2．（1）在图中画出四边形A1B1D1C1与四边形A2B2D2C2；（2）四边形A1B1D1C1与四边形A2B2D2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标为（2，0）；（3）直接写出过A2、B2、D2三点的外接圆的直径为．【考点】作图-旋转变换；三角形的外接圆与外心；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用网格特点和平移、旋转的性质画图；（2）根据中心对称的性质，点P为各对应点的连线的交点，然后确定P点位置，写出P点坐标；（3）利用勾股定理分别计算出A2D2=，A2B2=B2D2=，则根据勾股定理的逆定理可判断过A2、B2、D2三点的三角形为直角三角形，∠A2B2D2=90°，然后根据圆周角定理可得到过A2、B2、D2三点的外接圆的直径为．【解答】解：（1）如图，四边形A1B1D1C1与四边形A2B2D2C2为所作；（2）点P的坐标为（2，0）；（3）A2D2==，A2B2=B2D2==，因为A2D22=A2B22+B2D22，所以过A2、B2、D2三点的三角形为直角三角形，∠A2B2D2=90°，所以A2D2为过A2、B2、D2三点的外接圆的直径，即过A2、B2、D2三点的外接圆的直径为．故答案为（2，0），．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．利用勾股定理的逆定理和圆周角定理是解决（3）问的关键．21．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=AB，OT交⊙O于M（1）如图1，BT交⊙O于E，求证：sin∠BTO=；（2）如图2，若TC切⊙O于点C，求tan∠CBM的值．【考点】切线的性质．【分析】（1）作OF⊥BT于F，根据等腰直角三角形的性质得出BF=EF=OF，再利用三角函数解答即可；（2）根据切线的性质和平行线分线段成比例定理进行解答即可．【解答】解：（1）作OF⊥BT于F，则BF=EF=OF，∴sin∠BTO===（2）∵BC∥OT，则∠CBM=∠BMO=∠ABM，作MN⊥AB于N，∴tan∠AOT==2，∴=2，设ON=x，MN=2x，则OM=x=OB，∴BN=（+1）x，∴tan∠CBM=tan∠ABM===．【点评】本题考查的是切线的判定和平行线分线段成比例定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．22．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元，（1）求购进A，B两种纪念品每件需多少元？（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）关系式为：A种纪念品10件需要钱数+B种纪念品5件钱数=1000；A种纪念品5件需要钱数+B种纪念品3件需要钱数=550；（2）关系式为：A种纪念品需要的钱数+B种纪念品需要的钱数≤10000；购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍；（3）计算出各种方案的利润，比较即可．【解答】解：（1）设A，B两种纪念品每件需x元，y元．，解得：．答：A，B两种纪念品每件需50元，100元；（2）设购买A种纪念品a件，B种纪念品b件．，解得20≤b≤25．则b=20，21，22，23，24，25；对应的a=160，158，156，154，152，150答：商店共有6种进货方案．（3）解：设利润为W元，则W=20a+30b=20（200﹣2b）+30b=﹣10b+4000（20≤b≤25），∴W随着b的增大而减小，∴当b=20时，W最大，此时a=160时，W最大，∴W=4000﹣10×20=3800（元），最大答：方案获利最大为：A种纪念品160件，B种纪念品20件，最大利润为3800元．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．23．如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC=∠BAD=90°，AC交BD于P，且tan∠C=．（1）求证：AD=AB；（2）如图2，BE⊥CD于E交AC于F．①若F为AC的中点，求的值；②当∠BDC=75°时，请直接写出的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据AD∥BC得=，又tan∠C=故故AD=AB．（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG=b，根据△ABC∽△DGC，得到a、b的关系即可解决问题．②根据条件推出∠HDC=∠DCG=30°即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴=，∵tan∠C=，∴，∴AD=AB．（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG=b，∵AG∥BC，∴，∵AF=FC，∴AG=BC，∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°∴四边形ABCG是矩形，∴FB=FC，∠BCG=∠AGC=90°，∴∠FBC=∠FCB，∵∠FBC+∠BC，E=90°，∠BCE+∠ECG=90°，∴∠ECG=∠FBC，∴∠DCG=∠ACB，∵∠ABC=∠DGC=90°∴△ABC∽△DGC，∴，∴，∴a2﹣ab﹣b2=0，∴a=（或a=舍弃），∵DG∥BC，∴====，②由1可知四边形ABHD是正方形，∵∠BDC=75°，∠BDH=45°，∴∠HDC=∠DCG=30°，∵∠DGC=90°，∴∠CDG=60°，∠DGE=30°，设DE=m，则DG=2DE=2a，DC=2DG=4a，∴EC=3a，∴=3．【点评】本题考查正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造特殊图形是解决问题的关键．24．已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题；一次函数的应用；全等三角形的应用；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式．（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值．（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，∴，解得，∴y=﹣x2﹣x+2．（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，∵AO=BO=2，∴△AOQ≌△BOP，∴OQ=OP=t．①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．∵BQ=AP，∴2﹣t=（2+t），∴t=．②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．∵BQ=AP，∴t﹣2=（2+t），∴t=6．综上所述，t=或6时，BQ=AP．（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．分析如下：∵AQ⊥BP，∴∠QAO+∠BPO=90°，∵∠QAO+∠AQO=90°，∴∠AQO=∠BPO．在△AOQ和△BOP中，，∴△AOQ≌△BOP，∴OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，∵直线y=x垂直平分PQ，∴M在y=x上，设M（x，y），∴，解得或，∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ，∴t2+2t﹣2=0，∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，则有PE=3+t，ME=3，∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ，∴t2﹣6t﹣18=0，∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M （﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．【点评】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．。