2021年湖北省武汉市中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题）. 1．实数2020-的相反数是（ ） A ．2020B ．2020-C ．2021D ．2021-2．下列x ） A ．－2B ．－1C ．0D ．13．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球 B ．买一张电影票，座位号是5的倍数C ．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D ．走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯4．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ） A ．13B ．14C ．16D ．187．若两个点（x 1，﹣2），（x 2，4）均在反比例函数y ＝2k x-的图象上，且x 1＞x 2，则k 的值可以是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18．某快递公司每天上午7:008:00-为集中件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发件快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的个数为：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件：③8:00时，甲仓库内快件数为400件；④7:20时，两仓库快递件数相同（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD 交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A B．C．D．10．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2020个三角形，则n=（）A．670 B．672 C．673 D．676二、填空题11的结果是______．12．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________．13．计算：111aa a+=--____________．14．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线15．抛物线23(0)y ax bx a =+-≠与x 轴有两个交点，且交点位于y 轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法正确的有_______．（填序号）①0a >；②若0b >，则当0x >时，y 随x 的增大而增大；③3a b +<；④一元二次方程210+-=ax bx 的两根异号．16．如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1,2AB AD ==．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是_______．三、解答题17．计算：()235423a a a a ⎡⎤⋅+÷⎢⎥⎣⎦．18．如图，已知AD BC ⊥于点D ，E 是延长线BA 上一点，且EC BC ⊥于点C ，若ACE E ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．19．为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A （100～90分）、B （89～80分）、C （79～60分）、D （59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）这次随机抽取的学生共有______人？在如图扇形统计图中A 等级所对应的圆心角度数为_____度． （2）请补全条形统计图；（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？20．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为()1,0．（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出1C 点的坐标；（2）画出将ABC 绕原点O 按逆时针旋转90︒所得的222A B C △，并写出2B 点的坐标． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE ∥AB ，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD ．（1）求证：AD ＝AE ．（2）若AB ＝10，sin ∠DAC 求AD 的长． 22．某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为1202m x =+（130x ≤≤且x 为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式； （2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？23．在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，DE 、AF 交于点M ． （1）如图1，E 为AB 的中点，AF ⊥BC 交BC 于点F ，过点E 作EN ⊥AF 交AF 于点N ，13BF AD =，直接写出MN AM的值是 ； （2）如图2，∠B ＝90°，∠ADE ＝∠BAF ，求证：△AEM ∽△AFB ； （3）如图3，∠B ＝60°，AB ＝AD ，∠ADE ＝∠BAF ，求证：BF CF AEAD=．24．如图 1，直线:1l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，点E ，抛物线21:L y ax bx c ++＝经过点B ，点()30A -,和点()0,3C -，并与直线l 交于另一点D ． （1）求抛物线1L 的解析式；（2）如图 2，点P 为x 轴上一动点，连接AD AC CP ，，，当PCA ADB ∠∠＝时，求点 P 的坐标；（3）如图 3，将抛物线1L 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2L ；将直线DB 向下平移经过坐标原点O ，交抛物线2L 于另一点F ．点1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭，点N 是2L 上且位于 第一象限内一动点，MN 交2L 于Q 点，//QR x 轴分别交OF ON ，于,S R ，试说明：QS 与SR 存在一个确定的数量关系．参考答案1．A【分析】由相反数的定义：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，从而可得答案． 的相反数是2020,解：2020故选A．【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．D【分析】a≥0）条件即可求解．解：由题意得x-1≥0，解得x≥1．故选：D【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式有意义的条件是解题的条件．3．A【分析】根据必然事件的定义理解判断即可．【详解】A、只有红球的盒子里摸出的球一定是红球，是必然事件，故此选项正确；B、任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误；C、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上也可能反面向上，是随机事件，故此选项错误；D、走过一个红绿灯路口时，不一定是红灯，是随机事件，故此选项错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了事件分类问题，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．4．C【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】该空心圆柱体的俯视图是：故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6．C【分析】画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据概率公式即可求解．【详解】画树状图为：∴P（选中甲、乙两位）=21 126故选C．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 7．D 【分析】将（x 1，﹣2），（x 2，4）代入反比例函数y ＝2k x-的解析式，利用k 表示出x 1和x 2，再利用x 1＞x 2求出k 的范围即可．解：∵点1(2)x -，在反比例函数2k y x-=的图象上， ∴12122-==--k kx ， ∵点2(4)x ，在反比例函数2k y x-=的图象上， ∴224k x -=， ∵12x x >， ∴2124k k -->，解得2k <，解不等式、 故选：D ． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式，解题的关键是得出不等式2124k k -->． 8．C 【分析】根据题意，结合一次函数图象去分析图象所表示的实际意义，上升的图象表示甲仓库，下降的图象表示乙仓库，然后选出正确选项．解：①不正确，根据上升的一次函数图象，当15x =的时候，130y =；②正确，根据下降的一次函数图象，从15分钟到60分钟，乙仓库派发的快递是180件，所以速度=()18060154÷-=（件/分钟）；③正确，用待定系数法求出上升的一次函数图象的解析式为640y x =+，当60x =时，66040400y =⨯+=；④正确，用待定系数法求出下降的一次函数图象解析式为4240y x =-+，再联立两个直线解析式求交点横坐标，列式6404240x x +=-+，解得20x ，也就是20分钟之后甲乙仓库快递数一样． 故选：C ． 【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是能够结合题意理解函数图象所表达的实际含义． 9．D 【分析】连接DO 、DA 、DC ，设DO 与AC 交于点H ，证明△DHE ≌△BCE ，得到DH=CB ，同时OH 是三角形ABC 中位线，设OH=x ，则BC=2x=DH ，故半径DO=3x ，解出x ，最后在Rt △ACB 中由勾股定理即可求解．解：连接DO 、DA 、DC 、OC ，设DO 与AC 交于点H ，如下图所示，∵D 是AC 的中点，∴DA=DC ，∴D 在线段AC 的垂直平分线上， ∵OC=OA ，∴O 在线段AC 的垂直平分线上， ∴DO ⊥AC ，∠DHC=90°， ∵AB 是圆的直径，∴∠BCA=90°，∵E 是BD 的中点，∴DE=BE ，且∠DEH=∠BEC ， ∴△DHE ≌△BCE(AAS)， ∴DH=BC ，又O 是AB 中点，H 是AC 中点， ∴HO 是△ABC 的中位线，设OH=x ，则BC=DH=2x ，∴OD=3x=3，∴x=1，即BC=2x=2，在Rt △ABC 中，==AC 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键10．C【分析】由题意可知：第(1)个图案有314+=个三角形，第(2)个图案有3217⨯+=个三角形，第(3)个图案有33110⨯+=个三角形，…依此规律，第n 个图案有(31n +)个三角形，进而得出方程解答即可．【详解】∵第(1)个图案有314+=个三角形，第(2)个图案有3217⨯+=个三角形，第(3)个图案有33110⨯+=个三角形，…∴第n 个图案有(31n +)个三角形，根据题意可得：312020n +=，解得：673n =，故选：C ．11．【分析】利用二次根式的性质化简．【详解】==．故选为：考查了二次根式的化简，常用方法：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．12．4.5【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】将这组数据按从小到大进行排序为3,3,4,5,5,6 则这组数据的中位数是45 4.52+= 故答案为：4.5．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．13．1-【详解】 原式111111a a a a a --=+==----． 故答案为：-1．14．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ， ∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∴AC ==，∴OA ＝12AC ，∴OB ==，∴BD ＝2OB ＝；故答案为：本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是根据平行四边形的性质求出直角三角形的边长，利用勾股定理求出对角线．15．①②④．【分析】根据二次函数的图象和性质，综合进行判断即可．解：设抛物线与x 轴的交点为()()12,0,,0x x ，∵两个交点在y 轴两侧，120x x ∴⋅<，即30a-<， 0a ∴>，因此①符合题意；当0x =时，3y =-，抛物线与y 轴交点为(0,3)-，当0b >时，而0a >，对称轴在y 轴的左侧，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因此②符合题意；当1x =时，3y a b =+-的值无法确定，故③不符合题意，一元二次方程210+-=ax bx 的两根就是一元二次方程232ax bx +-=-的两根，实际上就是抛物线23y ax bx =+-，与直线2y =-的两个交点的横坐标，因为当x ＝0时，y ＝−3，抛物线与y 轴交点为（0，−3），故④符合题意；故答案是：①②④．16．211144t t -+ 【详解】连接DM ，过点E 作EG BC ⊥于点G ，设DE x =，∵折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，∴EM DE x ==，∴2EA x =-，∵222AE AM EM +=，AM =t ，∴222(2)x t x -+=，解得：214t x =+， ∴214t DE =+， ∵折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，∴EF DM ⊥，∴90ADM DEF ∠+∠=︒，∵EG AD ⊥，∴90DEF FEG ∠+∠=︒，∴ADM FEG ∠=∠， ∴tan tan 21AM t FG FG ADM FEG AD EG ∠=∠====， ∴2t FG =， ∵214t CG DE ==+， ∴2142t t CF =-+， ∴2111()11244CDEF S CF DE t t =+⨯=-+四边形．故答案为：211144t t -+ 17．610a【分析】 根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可． 解：原式35829()+÷+=a a a8829)(+÷=a a a8210=÷a a610=a ．【点睛】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键．18．见解析【分析】由题意易证//AD EC ，再根据平行线的性质可知，BAD E ∠=∠，DAC ACE ∠=∠，即可证明BAD DAC ∠=∠，即AD 平分BAC ∠【详解】证明：AD BC ⊥于点D ，EC BC ⊥于点C ，//AD EC ∴，BAD E ∴∠=∠，DAC ACE ∠=∠，ACE E ∠=∠，BAD DAC ∴∠=∠，即AD 平分BAC ∠．【点睛】本题考查角平分线的判定，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．19．（1）40、45；（2）补全图形见解析；（3）这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．【分析】（1）由C 等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A 等级人数所占比例即可； （2）用总人数乘以B 等级对应的百分比求出其人数，据此可补全图形；（3）用总人数乘以样本中A 、B 等级人数所占比例．解：（1）这次随机抽取的学生共有2050%40÷=（人），扇形统计图中A 等级所对应的圆心角度数为53604540︒⨯=︒， 故答案为：40、45；（2）B 等级人数为4027.5%11⨯=（人），补全图形如下：（3）这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有511120048040+⨯=（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20．（1）△A1B1C1即为所求，C1点的坐标为（3，-1）；（2）△A2B2C2即为所求，B2点的坐标为（0，1）．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出C1点的坐标；（2）根据旋转的性质即可画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出B2点的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，C1点的坐标为（3，-1）；（2）如图，△A2B2C2，即为所求，B2点的坐标为（0，1）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．21．（1）AD＝AE，见解析；（2）AD＝8，见解析.【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理得出∠BAE=90°，∠ADB=∠ADC=90°，由平行线的性质得出∠E=∠ADB，证出∠BCA=∠ACE，证明△ADC≌△AEC，即可得出结论；（2）连接BF，由圆周角定理得出∠CBF=∠DAC，∠AFB=90°，得出∠CFB=90°，由三角函数求出CF=，由等腰三角形的性质得出Rt△ACD中，由三角函数求出4CD==，再由勾股定理即可得出结果．解：（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，在△ADC和△AEC中，ADC E90ACD ACEAC AC︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）连接BF，如图所示：∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝CFBC＝sin∠DAC，∵AB ＝BC ＝10，∴CF ＝∵BF ⊥AC ，∴AC ＝2CF ＝，在Rt △ACD 中，sin ∠DAC ＝CD AC∴CD ×＝4，∴AD ＝8．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的性质及判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合程度较高．22．（1）214565022W x x =-++（130x ≤≤且x 为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；【分析】（1）由题意设销售数量,y kx b =+把()()10,55,26,39代入函数解析式，可得65,y x =-+再利用总利润等于销售数量y 千克乘以每千克水果的利润()10m -元，从而可得答案； （2）利用（1）中的二次函数解析式214565022W x x =-++，结合130x ≤≤且x 为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可．解：（1）由题意设销售数量,y kx b =+把()()10,55,26,39代入函数解析式； 1055,2639k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：1,65k b =-⎧⎨=⎩65,y x ∴=-+()()1106520102W y m x x ⎛⎫∴=-=-++- ⎪⎝⎭214565022x x =-++ （130x ≤≤且x 为整数）； （2）214565022W x x =-++， ∴ 抛物线的对称轴为：4545222.5,1222x =-==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭12a =-＜0， 130x ≤≤且x 为整数， ∴ 当22x =或23x =时，W 取得最大值，最大值为：()12265221043219032W ⎛⎫=-+⨯+=⨯=⎪⎝⎭元． 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键．23．（1）16；（2）详见解析；（3）详见解析． 【分析】（1）证明EN ∥BF ，得出16MN EN AM AD ==； （2）证明四边形ABCD 是矩形，得出∠BAD ＝∠ABC ＝90°，则∠AED ＝∠AFB ，可得出结论；（3）连接AC ，过点B 作BP ∥AC 交AF 的延长线于点P ，证明△BFP ∽△CFA ，得出BF BP CF CA =，证明△ADE ≌△BAP （ASA ），得出AE ＝BP ，则可得出结论．解：（1）∵EN ⊥AF ，BF ⊥AF ，∴EN ∥BF ，又∵E 为AB 的中点，∴BF ＝2EN ，∵13BF AD =，∴16 ENAD=，∴16 MN ENAM AD==，故答案为：16；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵∠ADE＝∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF∴∠AED＝∠AFB，又∵∠BAF＝∠MAE，∴△AEM∽△AFB；（3）证明：如图，连接AC，过点B作BP∥AC交AF的延长线于点P，∴△BFP∽△CFA，∴BF BP CF CA=，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝60°，∴∠PBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABP＝120°，∴∠DAE＝∠ABP，在△ADE与△BAP中，DAE ABP AD ABADE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△BAP （ASA ），∴AE ＝BP ，又∵AC ＝AD ， ∴BF AE CF AD=． 24．（1）223y x x =+-；（2）()123,0,1505P P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；（3）QS SR =，理由详见解析【分析】（1）利用待定系数法将A 、B 、C 三点的坐标代入2y ax bx c =++即可求解；（2）P 点分在A 点的左边和右边的两种情况（图见详解），当P 点在A 点右边时，证出1P AC ABD ∆∆，即可通过相似比求出AP 1的长度从而求出P 1点坐标；当P 点在A 点左边时，通过证出1CAK CAP ∆≅∆，得到AK 的长度，从而求出K 点坐标，再利用待定系数法求出直线CK 的解析式，P 2就是直线CK 与x 轴的交点；（3）根据题意求出移动后的抛物线及直线OF 的解析式，设出动点N 的坐标，通过联立方程用N 点的坐标表示出Q 、R 、S 的横坐标，通过观察这三个横坐标的值即可得出数量关系．解：（1）直线1y x =-+经过B 点，且B 点在x 轴上，()1,0B ∴．将()()()3,0,0,3,1,0A C B --代入2y ax bx c =++，得：93030a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩123a b c =⎧⎪∴=⎨⎪=-⎩∴抛物线1L 的解析式223y x x =+-．（2）如下图所示，设(),0P x由2231y x x y x ⎧=+-⎨=-+⎩ 得1110x y =⎧⎨=⎩，2245x y =-⎧⎨=⎩ ()4,5D ∴-1y x =-+()()0,1,1,0E B ∴OB OE ∴=45OBD ︒∴∠=BD ∴==()3,0,(0,3),A C --,1(3)4OA OC AC AB ∴====--=． 45OAC ︒∴∠=OBD OAC ∴∠=∠I.当点P 在点A 的右边，记此时的点P 为1P ， 1PCA ADB ∠=∠时，1P ACABD ∆∆．1AP AC AB BD ∴=14AP ∴= 112(3)5AP x ∴==-- 35x =- 13,05P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭II.当点P 在点A 的左边，PCA ADB ∠=∠时，记此时的点P 为2P ，则有21.P CA PCA ∠=∠ 过点A 作x 轴的垂线,交2P C 于点K ， 则1190904545CAK CAP CAP ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠，又AC 公共边, ()1CAK CAP SAS ∴∆≅∆， 1125AK AP ∴== 123,5K ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ∴设直线:3CK y kx =-，123,5K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴直线1:35CK y x =-， ()215,0P ∴-P 的坐标：()123,0,1505P P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． （3）QS SR =，理由如下： 依题意，抛物线2L 的解析式：2y x OF 的解析式：y x =- ()1,1F ∴-设()2,N n n1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线ON 的解析式：y nx =直线MN 的解析式：21122n y x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 联立2yx 与21122n y x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 解得22,112422n n Q n n ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得222,114422s R n n x x n n =-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2R Q s x x x +=即点S 是点Q、点R 的中点， 即QS SR =．。