第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。

(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。

(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。

(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。

3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。

又因为0)(≡x v时，有02≡x , 则02≡x，代入状态方程得：01≡x . 所以系统在0≠x 时，)(x v不恒为零。

则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（2）设22215.05.0)(x x x v +=212221************)32()()(x x x x x x x x x x x x x x x v+--=-++-=+= 035.15.11,0135.15.11>--<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⇒=x x T Px x T =P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（3）22215.05.0)(x x x v +=22212122112211)()()(x x x x x x x x x x x x x v--=--++-=+= x x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1001Px x T =P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（4）两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。

()()⎩⎨⎧==≠≥==⇒==0000)(5.0)(2111121111x x x x x x v x x v x x()()⎩⎨⎧==≠≤-==⇒=-=0000)(5.0)(2222222222x x x x x x v x x v x x所以系统不稳定。

3-4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。

)(001323031)1(k x k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

001323031)(=-+--=-=zz z A zI z f1.23462.6974i - 0.11732.6974i+ 0.1173321-===z z z 特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。

方法二：采用第二方法，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=001323031G 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=105.0015.05.05.01P因为1>0，075.015.05.01>=，05.0105.0015.05.05.01>=，所以P 正定。

Px x x v T =)(正定。

)())(()(k x P PG G k x k v T T -=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-001323031001323031105.0015.05.05.010********P PG G T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=85.175.165.475.48因为8>0，075.2765.45.48>=，05.485.175.165.475.48>=，所以P 正定。

)(k v ∆为正定，所以系统在原点不稳定。

【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

02/01001)(=---=-=zk z z A zI z f02k -0.52k 0.5321===z z z 2012k 0.5<<⇒<±k 时平衡点渐近稳定。

方法二：Px x x v T =)(正定。

)())(()(k x P PG G k x k v T T -=∆)()()(k Qx k x k v T =∆令I Q -=P PG G Q T -=，设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211P P P P P P P P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211P P P P P P P P P kP P P P P P P P P k P PG G T 0,0,0,123131211====⇒P P P P233222412,1412kP kP -=--=所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=224120001412001k kP P 为正定，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⇒>->--2004120141222k kk 时系统渐近稳定。

3-4-6 设系统的状态方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21215.1210x x x x，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线100)(=x v 边界上的一点到封闭曲线05.0)(=x v 内一点的响应时间上限。

【解】：令I Q = I PA P A T -=+求矩阵P ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10015.12105.11202221121122211211P P P P P P P P ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21414145.5P 所以李氏函数为：2221215.05.045.5)(x x x x x v ++=)()(2221x x x v+-= 011=-=---I P I QP λλ0=-P I λ则3062.21=λ，6938.02=λ955.1010005.0ln 1),(),(ln1200min0=-=-=-ληt x v t x v t t 3-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。

⎪⎩⎪⎨⎧++--=+++-=⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=)()()2()1(22212212222112113221231211x x x x x x x x x x x xx x x xx x x x【解】：（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====1111311131022210221221110x x x Tx x x f x f x f x f x f A 02211112=+-=---=-s s s s A sI系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。

（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====11113121213102221212122210221221110x x x Tx x x x x x x x x f x f x f x f x f A02211112=++=+-+=-s s s s A sI系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。

3-4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a 、b 的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。

⎪⎩⎪⎨⎧---==3221221bx ax x x x x【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====a bx a x f x f x f x f x f A x x x T11031100220221221111112++=+-=-as s as s A sI结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a 大于0, b 任意（同时还需满足题目要求）。

3-4-9 试证明系统⎪⎩⎪⎨⎧--==221211221x x a x a x x x在0,021>>a a 时是全局渐近稳定的。

【解】：求平衡点:⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--===000021221211221e e x x x x a x a xx x设222115.05.0)(x x a x v +=)(221221*********)(x x a x a x x x a x x x x a x v--+=+= 022212)(<-=x x a x v结论01>a ，)(x v 正定；02>a ，)(x v负定，系统渐近稳定。

因为∞⇒x 时，∞⇒+=222115.05.0)(x x a x v ，所以系统又是大范围渐近稳定。

3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点0=e x 处为大范围渐近稳定时，参数a 和b 的取值范围。

⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=32212211bx x x x x ax x【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=22221221113111bx a x f x f x f x f xfJ T 令I P = )()()(x f x f x v T =)(3111)(2)(])[()(22x f bx a x f x f J J x f x v T T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=系统在0=e x 处渐近稳定的条件是)(x v负定。