数值分析上机题第一章17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为）111-23（21+-N N 。

（1）编制按从大到小的顺序1-1···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用程序；（2）编制按从小到大的顺序121···1)1(111222-++--+-=N N S N ，计算NS 的通用程序；（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？解： 程序：（1）从大到小的顺序计算1-1···1-311-21222N S N +++=：function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1format long ; sn1=single(0); for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1); end end（2）从小到大计算121···1)1(111222-++--+-=N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1); end end（3）总的编程程序为： function p203()clear allformat long;n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为snfprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2);function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long;sn1=single(0);for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1);endendfunction sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long;sn2=single(0);for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1);endendend运行结果：从而可以得到N值真值顺序值有效位数2 100.740050 从大到小0.740049 5从小到大0.740050 64 100.749900 从大到小0.749852 3从小到大0.749900 66 100.749999 从大到小0.749852 3从小到大0.749999 6（4）感想：通过本上机题，我明白了，从小到大计算数值的精确位数比较高而且与真值较为接近，而从大到小计算数值的精确位数比较低。

机器数在进行加法运算时，用从大到小的顺序容易出现大数吃小数的情况，容易产生较大的误差，是因为对于相加的两个数值，计算机首先提供与大数相一致的位数，此时将小数的尾数向右移位，并进行四舍五入，之后对尾数进行依次相加。

从大到小时，越往后计算，相加的数越小，从而出现大数吃小数的情况。

相比之下。

从小到大计算时，每次小数与大数相加，都会增加位数，从而精确度比较高。

第二章20.（上机题）Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程)(x f =0根的通用程序。

（2）给定方程x x x f -=3/)(3，易知其有三个根*1x =-3，*2x =0,*3x =3。

①有Newton 方法的局部收敛性可知存在δ>0，当0x ∈（-δ,δ）时Newton 迭代序列收敛于根*2x ，试确定尽可能大的δ；②试取若干初始值，观察当0x ∈（-∞，-1），（-1，-δ），（-δ，δ），（δ，1），（1，+∞）时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？ 解：（1）程序先编写函数function 文件： 文件fx.m%定义函数f(x)function Fx=fx(x) Fx=x^3/3-x;文件dfx.m%定义导函数df(x)% function fx=dfx(x) fx=x^2-1;接下来是具体步骤文件newton1.m 求尽可能大的delta 值%%课本56页计算最大delta 值 clear flag=1; k=1; x0=0;while flag==1delta=k*10^-6;x0=delta;k=k+1;m=0;flag1=1;while flag1==1&&m<=10^3x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);if abs(x1-x0)<10^-6flag1=0;endm=m+1;x0=x1;endif flag1==1||abs(x0)>=10^-6flag=0;endendfprintf('%f\n',delta);文件newton2.m求方程的根%%课本56页newton法求方程的根，确定收敛于哪个根format long;ef=1e-6;k=0;x0=input('please enter the initial number as the x0:'); while k<1000x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);if abs(x1-x0)<efbreakendx0=x1;k=k+1;endfprintf('方程的根为%f\n',x0);（2）运行结果① 求尽可能大的delta 值② 判断收敛于哪个根。

已知有三个根，*1x =-3，*2x =0,*3x =3。

，（-1，-δ），（-δ，δ），（δ，1），（1，+∞）0x ∈（-∞，-1）收敛于*1x =-30x ∈（-1，-δ）可见部分收敛于*1x ，部分收敛于*3x 。

0x ∈（-δ，δ）x=0。

可见，收敛于*2x∈（δ，1）可见部分收敛于*1x ，部分收敛于*3x 。

0x ∈（1，∞）x收敛于3（3）感想：通过自行编写NEWTON的程序，加深了我对于NEWTON迭代法具体的运行方式、结果、利弊的了解。

在不同的区间上，根据给定的x0的不同，x会以不同的速度收敛于某个根，也会产生意想不到的跳动，如在（1，∞）区间是。

因此给定初值的重要性很大，即在某些区间上，收敛于某个根是由一定限制的，要取得合适的初值，才能够正确地求得收敛的根。

总体上来说，通过上机，巩固学习了第二章关于迭代的运用。

第三章39.列主元Gauss消去法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI V =。

其中3113000100001335901100000931100000000107930000900030577050000074730000000030410000005002720009000229R --⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪--- ⎪ ⎪=--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭()15,27,23,0,20,12,7,7,10TT V =----（1） 编制解n 阶线性方程组Ax b =的列主元高斯消去法的通用程序； （2） 用所编程序线性方程组RIV =，并打印出解向量，保留5位有效数；（3） 本章编程之中，你提高了哪些编程能力？ 解：（1） 程序Gauss 函数的function 程序%用列主元Gauss 消去法求解线性方程组Ax=b function [x]=gauss1(A,b) n=length(b); for k=1:na=max(A(k:n,k)); [p m]=find(A(:,k)==a); if p>kA([p,k],:)=A([k,p],:); b([p,k],:)=b([k,p],:); endm=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); endx=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 m=0;for k=i+1:1:n m=m+A(i,k)*x(k);endx(i)=(b(i)-m)/A(i,i);endend下面是主程序的m文件%%课本127页用列主元gauss消去法求解方程clearR=[31 -13 0 0 0 -10 0 0 0;-13 35 -9 0-11 0 0 0 0 ;0 -9 31 -10 0 0 0 0 0 ;0 0 -10 79 -30 0 0 0 -9;0 0 0 -30 57-7 0 -5 0;0 0 0 0 -7 47 -30 0 0 ; 00 0 0 0 -30 41 0 0 ; 0 0 0 0 -5 0 0 27 -2 ; 0 0 0 -9 0 0 0 -2 29];V=[-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10];I=gauss1(R,V);I（2）运行结果（3） 感想：本次上机重点学习了列主元GUASS 消去法的应用。

列主元GUASS 消去法在进行第K 步消元前，先选出位于第K 列中位于对角线及其以下元素绝对值中的最大者，然后将他们互相交换，在进行接下来的一般消元过程。

较少了误差，而且一般保证舍入误差不增加，基本上是稳定的。

通过上机程序设计，加深了对该方法的了解，对于矩阵、编程的了解也更深入。

第四章37.三次样条插值函数（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序 （2）已知汽车门曲线型值点的数据如下 i0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i y2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端点条件为,0y =0.8，,10y =0.2，用所编程序求出门的三次样条差值函数S(x)，打印出S(i+0.5),i=1,2,```9。

（1） 程序（n 是x 的总个数）%%样条插值函数 clear clc%%输入相关参数xi,yin=input('enter the n:');%%输入X 的总个数 xn=zeros(1,n);yn=zeros(1,n);xn(1,:)=input('enter the x:');yn(1,:)=input('enter the y:');%%求h,mu,lambda,d值d=zeros(n,1);h=zeros(1,n-1);mu=zeros(1,n-2);%%lambda=zeros(1,n-2);f1=zeros(1,n-1);%%一阶导数f2=zeros(1,n-2);%%二阶导数dy0=input('enter the value of dy0:');dyn=input('enter the value of dyn:');for i=1:n-1h(i)=xn(i+1)-xn(i);f1(i)=(yn(i+1)-yn(i))/h(i);endfor i=1:n-2mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));lambda(i)=1-mu(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);for i=2:n-1f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(xn(i+1)-xn(i-1));d(i)=6*f2(i);endA=zeros(n);A(1,2)=1;A(n,n-1)=1;for i=1:nA(i,i)=2;endfor i=2;n-1A(i,i-1)=mu(i-1);A(i,i+1)=lambda(i-1);endM=A\d;%%回代求插值函数syms x;disp('sn(x)=')%%sn(i)的表达式sn(i)仅是关于x的函数值for i=1:n-1sn(i)=collect(yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-xn(i))+M(i)/2*( x-xn(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-xn(i))^3);sn(i)=vpa(sn(i),4);fprintf('sn(%d)=%s ,%d¡Üxn¡Ü%d\n',i,char(sn(i)),xn(i),xn(i+1)); enddisp('s(i+0.5)');%%计算在i+0.5处的插值disp(' i x(i+0.5) s(i+0.5)')for i=1:n-1t=xn(i)+0.5;s(i)=yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(t-xn(i))+M(i)/2*(t-xn(i))^ 2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(t-xn(i))^3;fprintf(' %d %.4f %.4f\n',i,xn(i)+0.5,s(i));end程序截图（2）运行结果（3）感想：三次样条插值是在每个小区间上分别建立样条函数，加上插值条件和连接条件，在整个区间上成立插值函数，大大提高了插值函数的精度。