数值分析上机题1设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。

（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。

（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？程序代码（matlab 编程）：clc cleara=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1S1(N)=S1(N)+a(i); end endS2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1);for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end endS1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。

从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。

计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。

数值分析上机题220．（上机题）Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。

（2）给定方程3()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x *=，3x *=。

1．由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时，Newton 迭代序列收敛于根2x *。

试确定尽可能大的δ。

2．试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。

MATLAB 程序 问题1clc clear dx=0.5; x(1)=0.5; while (dx>1e-6) i=1; error=1;while (error>1e-8)x(i+1)=x(i)-(1/3*x(i)^3-x(i))/(x(i)^2-1); error=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end if (x(i)==0) x(1)=x(1)+dx; else dx=dx/2; x(1)=x(1)-dx; end end经计算，最大的δ为0.774596 问题2clc clear x2(1)=1e14; i=1; error=1;while (error>1e-8)x2(i+1)=x2(i)-(1/3*x2(i)^3-x2(i))/(x2(i)^2-1); error=abs(x2(i+1)-x2(i)); i=i+1; if (i>1e4) break end end对于不同得初始值收敛于不同的根, 0x 在（-∞，-1）内收敛于3-，在（-0.774，0.774）内收敛于0，在（1，+∞）内收敛于3，但在内（0.774，1）和（－1，0.774）均可能收敛于3-和3。

分析：对于不同的初值，迭代序列会收敛于不同的根，所以在某个区间内求根对于初值的选取有很大的关系。

产生上述结果的原因是区间不满足大范围收敛的条件。

数值分析上机题339．（上机题）列主元三角分解法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V。

（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元三角分解法的通用程序；（2）用所编制的程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留五位有效数；（3）本编程之中，你提高了哪些编程能力？程序：clcclearA=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0-13,35,-9,0,-11,0,0,0,00,-9,31,-10,0,0,0,0,00,0,-10,79,-30,0,0,0,-90,0,0,-30,57,-7,0,-5,00,0,0,0,-7,47,-30,0,00,0,0,0,0,-30,41,0,00,0,0,0,-5,0,0,27,-20,0,0,-9,0,0,0,-2,29];b=[-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10]';[m,n]=size(A);Ap=[A,b];x=zeros(n,1);for i=1:m-1j=i;[maxa,maxi]=max(abs(Ap(i:end,j)));maxi=maxi+i-1;if(maxa~=0)mid=Ap(maxi,:);Ap(maxi,:)=Ap(i,:);Ap(i,:)=mid;for k=i:mAp(i+1:m,:)=Ap(i+1:m,:)-Ap(i+1:m,j)*(Ap(i,:)./maxa);endendendfor i=linspace(m,1,m)x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:end-1)*x)/Ap(i,i);end结果：方程的解为（保留5位有效数字）：x1= -0.28923，x2= 0.34544，x3= -0.71281，x4= -0.22061，x5= -0.43040，x6= 0.15431，x7= -0.057823，x8= 0.20105，x9= 0.29023。

习题 437.（上机题）3次样条插值函数（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;端点条件为'0y =0.8，'10y =0.2。

用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。

程序： （1）clc clear %%x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80]; y1=0.8; yend=0.2;%% ___________________________________________ n=size(x,2)-1; h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)./(h(1:end-1)+h(2:end)); lamda=1-miu;f1=[y1,(y(2:end)-y(1:end-1))./h,yend];%f[xn-1,xn]f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]./[h(1),h(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1,xn,xn+1] A=2.*eye(n+1);A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]'); A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]'); M=A\(6*f2');Sx=[y(1:end-1)',((y(2:end)-y(1:end-1))./h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)).*h'),1/2*M(1:end-1),1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))./h']; %%xx=input(’x= ’); for j=2:n+1 if xx<x(j)S=Sx(j-1,:)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]'; break end end(2)clcclear%%x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80];y1=0.8;yend=0.2;%% ___________________________________________n=size(x,2)-1;h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)./(h(1:end-1)+h(2:end));lamda=1-miu;f1=[y1,(y(2:end)-y(1:end-1))./h,yend];%f[xn-1,xn]f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]./[h(1),h(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1,xn,xn+1]A=2.*eye(n+1);A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]');A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]');M=A\(6*f2');Sx=[y(1:end-1)',((y(2:end)-y(1:end-1))./h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)).*h'),1/2 *M(1:end-1),1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))./h'];%%for i=0:9xx=i+0.5;for j=2:n+1if xx<x(j)S(i+1)=Sx(j-1,:)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]';breakendendendx∈ [0,1]时；S(x)=2.51+0.8x-0.0014861x2-0.00851395x3x∈[1,2]时；S(x)=3.3+0.771486(x-1)-0.027028(x-1)2-0.00445799(x-1)3x∈[2,3]时；S(x)=4.04+0.704056(x-2)-0.0404019(x-2)2-0.0036543(x-2)3x∈[3,4]时；S(x)=4.7+0.612289(x-3)-0.0513648(x-3)2-0.0409245(x-3)3x∈[4,5]时；S(x)=5.22+0.386786(x-4)-0.174138(x-4)2+0.107352(x-4)3x∈[5,6]时；S(x)=5.54+0.360567(x-5)+0.147919(x-5)2-0.268485(x-5)3x∈[6,7]时；S(x)=5.78-0.149051(x-6)-0.657537(x-6)2+0.426588(x-6)3x∈[7,8]时；S(x)=5.4-0.184361(x-7)+0.622227(x-7)2-0.267865(x-7)3x∈[8,9]时；S(x)=5.57+0.256496(x-8)-0.181369(x-8)2+0.0548728(x-8)3x∈[9,10]时；S(x)=5.7+0.058376(x-9)-0.0167508(x-9)2+0.0583752(x-9)3S(0.5)=2.90856 S(1.5)=3.67843 S (2.5)=4.38147S(3.5)=4.98819 S(4.5)=5.38328 S(5.5)=5.7237 S(6.5)=5.59441 S(7.5)=5.42989 S(8.5)=5.65976 S(9.5)=5.7323习题五 重积分的计算23（上机题）重积分的计算 题目：给定积分⎰⎰=dcbady dx y x f f I )),(()(。