幂的运算一、数学家的幽默一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？"数学家想了一下反问道：那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！"二、幂的运算性质知识要点◆要点1 同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。

◆要点2 幂的乘方与积的乘方(1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a =(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n易错易混点(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

◆要点3 同底数幂的除法a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）(1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0）(2) 负整数指数：p p aa 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。

也可变形为:pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。

在计算过程中，时刻注意符号的变化。

◆易错易混点(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

三、典型例题【例1】填空(1) ()=-4322z y x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2;(3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______；(5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______；(6) 若()36428=x ，则x ＝_______；(7) 计算：x 2•x 3= _________ ；（﹣a 2）3+（﹣a 3）2= _________ ．(8)、若2m =5，2n =6，则2m+2n = _________ ．【例2】 (1) 8975.0311⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)2003100120052004214532135⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.②已知22x ＋1＝32，求x 。

【例4】已知0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

【例5】如果2221682=⨯⨯n n ，求n 的值。

【例6】计算100101)2()2(-+-。

【例7】若1510,2010-==b n ，求b n 239÷的值。

四、学习自评1. x a ＋b ＋1＝x a ＋2·________。

若y 3＝－8a 6b 9，则y ＝______。

2. 若2m ＝5，2n ＝7，则2m ＋n ＝_________；23m －2n ＝_________。

3. 若2333632-++=⋅x x x ，则x ＝________。

4. 若153=-k 则k ＝_______；若2713=x ，则x ＝________。

5. ()()244432a a a ⋅+＝_________。

6. 下列说法正确的是（ ） A. –a n 和(－a )n 一定互为相反数 B. 当n 为奇数时，–a n 和(－a )n 相等C. 当n 为偶数时，–a n 和(－a )n 相等D. –a n 和(－a )n 一定不相等7. 下列各式中，正确的是（ ）A. 2a 3＋3a 2＝5a 5B. 2a －2＝221a C. ()5565=÷a a D. ()322a a a =÷- 8. 下列式子中与()2a -计算结果相同的是（ ）A. ()12-aB. 42-⋅a aC. 42a a ÷-D. ()24--⋅a a9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中(H n 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6)，要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）A. 104千焦B. 105千焦C. 106千焦D. 107千焦10. 若x 是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）A. ()114.30=-πB. ()1302=+xC. ()120040=+xD. ()[]133022=-----11. 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是（ ）A. x ＞23B. x ＜23C. x ＝23D. x ≠2312. 若1284·83＝2n ，则n 等于（ ）A. 30B. 37C. 38D. 3913. ()20052004313⎪⎭⎫⎝⎛⋅-的结果为（ ） A. 31- B. 31C. －3D. 314. 下列各式中，一定成立的是（ ）A. 22＝(－2)2B. 23＝(－3)2C. (－2)3＝22-D. (－2)3＝()32-15. 若()03221,2,21⎪⎭⎫⎝⎛--=-=⎪⎭⎫⎝⎛=-c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. b ＜c ＜aB. b ＜a ＜cC. c ＜b ＜aD. a ＜c ＜b16、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（ ）A 、﹣299B 、﹣2C 、299D 、217、当m 是正整数时，下列等式成立的有（ ）（1）a 2m =（a m ）2；（2）a 2m =（a 2）m ；（3）a 2m =（﹣a m ）2；（4）a 2m =（﹣a 2）m ．A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个18、a 与b 互为相反数，且都不等于0，n 为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（）A 、a n 与b nB 、a 2n 与b 2nC 、a 2n+1与b 2n+1D 、a 2n ﹣1与﹣b 2n ﹣119、下列等式中正确的个数是（ ）①a 5+a 5=a 10； ②（﹣a ）6•（﹣a ）3•a=a 10；③﹣a 4•（﹣a ）5=a 20； ④25+25=26．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个16. 计算题(1) 3a 3·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·(－a )2;(2) ()()()42233221242⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--+-x x x x (3)()()3200820082125.0⨯-;（4）78772153187⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- (5) (x －y )7÷(y －x )6＋(－x －y )3÷(x ＋y )2;(6) ()45023321⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---π17. 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝24，求a 、b 、c 之间的关系。

18. 若x m ＝3，x n ＝2，求① x2m ＋3n 的值；② x 3m －2n 的值。

19、(1) 若m ＋4n －5＝0，求2m ·16n 的值。

(2) 已知4m ·8m －1÷2m 的值是512，求m 的值。

(3) 已知1622,46416461213⨯=⨯=⨯--y x ，求()2005211y x -的值。

20、已知3x （x n +5）=3x n+1+45，求x 的值．21、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y ）（xn ﹣1y 2）（x n ﹣2y 3）…（x 2y n ﹣1）（xy n）的值．22、已知2x+5y=3，求4x •32y 的值．23、已知25m•2•10n=57•24，求m、n．24、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值．25、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值．26、已知10a=3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式_________ ．27、比较下列一组数的大小．8131，2741，96128、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．29、已知9n+1﹣32n=72，求n的值．30、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值．31、计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）32、若x=3a n，y=﹣，当a=2，n=3时，求a n x﹣ay的值．33、已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．34、计算：（a﹣b）m+3•（b﹣a）2•（a﹣b）m•（b﹣a）5。