解析几何部分公式、方法、技巧《直线和圆的方程》（1）①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程为：0()Ax By m m C ++=≠ 与直线y kx b =+平行的直线为：()y kx m m b =+≠ ②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为：0Bx Ay m -+= 与直线(0)y kx b k =+≠垂直的直线为：1y x m k=-+ ③给定直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=： 若12//l l ⇔讨论12,B B ； 若12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=； （2）过直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的交点的直线方程为： 111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（当0λ=时表示1l ，但不表示2l ） （3）点00(,)A x y 关于直线0Ax By C ++=对称的点的坐标为(,)x y ''，则： 000222Ax By C x x A A B ++'=-⋅+ 000222Ax By Cy y B A B++'=-⋅+ （填空题、选择题可用上面公式，解答题一定要写出下列过程：00000221x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨'-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪'⎪-⎝⎭⎩ 即 ⎧⎨⎩中点在直线上斜率之积为-1 解得：x y '=⎧⎨'=⎩（4）1l 到2l 的角θ：21121221tan (,1)1k k k k k k k k θ-=⋅≠-+适用于存在且1l 与2l 的夹角θ：21121221tan (,1)1k k k k k k k k θ-=⋅≠-+适用于存在且（5）斜率为k 的直线与二次曲线相交于,A B 两点，且1122(,),(,)A x y B x y ，则有：21AB x =-=（此即弦长公式）【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。

（6）①点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =②两平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离：d =（注意：应用该公式时一定要使得1l 与2l 的A ，B 一致）（7）① 求曲线1:(,)0C f x y =关于点00(,)x y 对称的曲线2C ：在曲线2C 上任取一点(,)x y 关于00(,)x y 对称的点为00(2,2)x x y y --代入曲线1C 方程，即可得曲线2C 方程为：00(2,2)0f x x y y --=【注】上述方法也适用于曲线关于特殊直线的对称曲线的求法！（且极为好用！） ② 点关于特殊直线的对称点坐标的求法：（理解记忆）(,)(,)x a b a b ←−−−→-关于轴 (,)(,)y a b a b ←−−−→-关于轴(,)(,)y xa b b a =←−−−−→关于直线 (,)(,)y xa b b a =-←−−−−→--关于直线 (,)(,)x ma b b a =←−−−−→关于直线 (,)(,2)y na b a n b =←−−−−→-关于直线 ③ 给定点11100222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，若12PP PP =，则： 1201x x x λλ+=+ 1201y y y λλ+=+（8）① 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为：200x x y y r +=② 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程：【求法】考虑切线方程：0y y =是否满足设方程为00()y y k x x -=-，再利用点到切线的距离等于半径列出方程求出k 即可！【与①类似结论】200()()()()x a x a y b y b r --+--=（9）①二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆220040A C B D E AF ⎧=≠⎪⇔=⎨⎪+->⎩②二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆2240D E F ⇔+->其中圆心为(,)22D E--，半径为2r =（10）已知点00(,)P x y 在圆220x y Dx Ey F ++++=的外部，过P 作圆的切线，切点分别为A,B，则切线长PA PB ==（11）若直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=r ≤（即圆心到直线的距离小于或等于半径！）（12）给定点00(,)P x y 和圆222()()x a y b r -+-=，则：点在圆内22200()()x a y b r ⇔-+-<； 点在圆上22200()()x a y b r ⇔-+-= 点在圆外22200()()x a y b r ⇔-+->【注】圆锥曲线有着类似的性质，比如给定椭圆22221x y a b +=：点在椭圆内2200221x y a b⇔+<； 点在椭圆上2200221x y a b ⇔+=；点在椭圆外2200221x y a b⇔+>；（13）判断直线与圆的位置关系，主要有两条路：① 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较加以判断；（首选）② 联立直线与圆的方程然后判断∆的符号加以判断;(二次曲线与直线位置判断通法) （14）圆系方程：①过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程可设为：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=②过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为：2222111222()(1)()0x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++-++++=【推广】过两曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的曲线系方程为： (,)(1)(,)0f x y g x y λλ+-=（15）过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的直线（公共弦）的方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=《椭圆》（1）椭圆的一般式方程：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠ （2）椭圆的面积公式S ab π=（3）① 椭圆的第一定义：12(2(2)PF PF a c +=>常数即）定点距离即 （其中12,F F 称为焦点，a 为长半轴长，c 为半焦距，P 为椭圆上任一点）② 椭圆第二定义：(01)PF e e d =<<（即()=∈到定点的距离常数(0,1)到定直线的距离） 其中F 为椭圆的焦点，d 为任意点P 到该焦点的相应准线的距离，e 为离心率。

【推论】过焦点1F 的直线与椭圆交于P Q 、两点，则2PQF ∆的周长为4a （3）椭圆标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大，椭圆越扁；）222a b c =+ c e a ==2221b e a =- 准线计算为2a c ±（4）椭圆焦半径公式：1F 为左焦点（下焦点） 2F 为右焦点（上焦点）10PF a ex =+（或0a ey +） 20PF a ex =-（或0a ey -） 【推论】椭圆上一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（5）焦点在x 轴上的椭圆上不同三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则相应三条焦半径成等差数列⇔三点横坐标成等差数列，即2132x x x =+（6）①以椭圆上任一点P 的一条焦半径为直径作圆，此圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切。

②以焦点弦为直径的圆必与相应准线相离。

（7）过焦点F 焦点弦PQ 的两端点P 、Q 在相应准线上的射影为,P Q ''，则(0,)2P FQ π''∠∈ （只需证明0P F Q F ''⋅>即可！）（8）已知P 为椭圆上任一点，12F PF θ∠=,则122tan2F PF S b θ∆=（其中b 为短半轴长）【注】关于12F PF ∆,很多资料书称之为焦点三角形，试题经常给定该三角形的一些条件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。

（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是2(,)b c a±±《双曲线部分》（1）双曲线的一般式方程：221(0)mx ny mn +=<（2）① 双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠与双曲线22221x y a b -=共渐近线为：0x ya b ±=② 渐近线为0x ya b±=的双曲线的方程可以写成2222(0)x y a b λλ-=≠（3）① 双曲线的第一定义：122)(2)PF PF a c -=<常数(即（其中12,F F 称为焦点，a 为实半轴长，c 为半焦距，P 为双曲线上任一点）【注意】若将定义中的绝对值去掉，则为双曲线一支；若将定义中的常数改为0，则为线段12F F 的中垂线；若将定义中的‘2c <’改为‘2c =’，则为两条射线；若将定义中的‘2c <’改为‘2c >’，则轨迹不存在；② 双曲线第二定义：(1)PF e e d =>（即()=∈∞到定点的距离常数(1,+)到定直线的距离） 其中F 为双曲线的焦点，d 为任意点P 到该焦点的相应准线的距离，e 为离心率。

【推论】过焦点1F 的直线与双曲线的一支交于P Q 、两点，若焦点弦PQ m =，则2PQF ∆的周长为42a m +（3）双曲线标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大开口越大；）222c a b =+ c e a ==2221b e a =+ 准线计算为2a c ±（4）双曲线焦半径公式：1F 为左焦点（下焦点） 2F 为右焦点（上焦点） 10PF a ex =+（或0a ey +） 20PF a ex =-（或0a ey -） 遵循“左加右减、长正短负”八字规则。